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Lexikon der Mathematik: Maximumprinzip

funktionentheoretische Aussage, die wie folgt lautet:

Es sei G ⊂ ℂ ein Gebiet, f eine in G holomorphe Funktion, und | f | besitze an z0G ein lokales Maximum, d. h. es gibt eine Umgebung UG von z0mit | f (z)| ≤ | f (z0 )| für alle zU. Dann ist f konstant in G.

Deutet man die reelle Zahl |f (z)| als Höhe im Punkt z senkrecht zur z-Ebene, so erhält man über G ⊂ ℂ = ℝ2 eine Fläche im ℝ3, die man auch die „analytische Landschaft“ von f nennt. Das Maximumprinzip bedeutet dann anschaulich, daß es in der analytischen Landschaft einer holomorphen Funktion keine echten Gipfel gibt.

Eine Variante des Maximumprinzips für beschränkte Gebiete lautet:

Es sei G ⊂ ℂ ein beschränktes Gebiet und f eine auf \(\overline{G}\)stetige und in G holomorphe Funktion. Dann nimmt die Funktion |f| ihr Maximum auf dem Rand an, d. h. es gilt \begin{eqnarray}\mathop{\max }\limits_{z\in \overline{G}}|f(z)|=\mathop{\max }\limits_{z\in \partial \overline{G}}|f(z)|.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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