Maxwellsche Gleichungen, Grundgleichungen der elektromagnetischen Wechselwirkung.

Die homogene Maxwell-Gleichung ergibt sich, wenn keine Ladungen berücksichtigt werden, die inhomogene Maxwell-Gleichung ist dagegen mit Einschluß der Ladungsverteilung ϱ zu schreiben. Im Spezialfall von zwei ruhenden Punktladungen ergibt sich als Kraftgesetz das Coulomb-Gesetz.

Die Maxwell-Gleichungen sind relativistisch invariant, d. h., bei Anwendung einer Lorentz-Trans- formation behalten sie ihre Gestalt bei. Deshalb ist mathematisch gesehen die 4-dimensionale Schreibweise die sachgemäße Form. Da jedoch praktisch meistens eine (3 + 1)-Zerlegung der Raum-Zeit vorgenommen wird, ist es auch sinnvoll und üblich, die 3-dimensionale Schreibweise der Maxwell-Gleichungen zu verwenden. Wir geben hier beide Formen an, dabei durchlaufen die Indizes i, j die Werte 0, 1, 2, 3, und die Koordinate x⁰ ist gleich der Zeit t. Die Koordinaten x^α sind die drei Raum-Koordinaten; entsprechend nehmen die griechischen Indizes die Werte 1, 2, 3 an.

Vierdimensional: Die Minkowskische Raum-Zeit der Speziellen Relativitätstheorie wird mit der Minkowski-Metrik η_ij ausgestattet. Die elektromagnetische Wechselwirkung breitet sich in Form von Wellen aus, und die zu elektromagnetischen Wellen gehörigen Teilchen sind die Photonen, also die Bestandteile des Lichts. Das Photon hat den Spin 1, deshalb wird ihm mathematisch ein Vektor zugeordnet; dieser wird mit A_i bezeichnet und heißt Potential des elektromagnetischen Feldes. Die Komponenten des Feldstärketensors F_ij werden dann durch die Gleichung \begin{eqnarray}{F}_{ij}={A}_{i,j}-{A}_{j,i}\end{eqnarray} definiert. Dabei bezeichnet „, j“ die partielle Ableitung nach der Koordinate x^j. Wegen der Vertausch- barkeit der partiellen Ableitungen gilt: Addiert man zu A_i den Gradienten eines Skalars Φ, also A_i → A_i + Φ,_i, ändert sich der Tensor F_ij nicht. Praktisch heißt das, daß man diesen Skalar Φ beliebig wählen kann. Dies ist gerade die Eigenschaft der Eichinvarianz in der Eichfeldtheorie. Der Lagrangian der zugehörigen Theorie wird dann mit dem Quadrat des Feldstärketensors, also mit F_ijF^ij, gebildet. Hier wird, wie stets bei solchen Ausdrücken mit doppelt vorkommenden Indizes, die Einsteinsche Summenkonvention angewendet. Die Vorzeichen- und Maßeinheitskonventionen sind in der Literatur nicht einheitlich, wir folgen hier [1]: Der Lagrangian ∧ ist definiert durch \begin{eqnarray}{\rm{\Lambda }}=-\frac{1}{16\pi }{F}_{ij}{F}^{ij}.\end{eqnarray}

Das Heben und Senken von Indizes geschieht mittels der Minkowski-Metrik, z. B. ist Aⁱ = η^ijA_j. Durch Variation dieses Lagrangians nach dem Vektor A_i erhält man den Energie-Impuls-Tensor T_ij aus \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{T}_{ij}=\frac{1}{4\pi }\left(\frac{1}{4}{\eta }_{ij}{F}_{kl}{F}^{kl}-{F}_{ik}{F}_{j}^{k}\right)\end{array}\end{eqnarray}

Die Energie-Impuls-Erhaltung ist durch die Materiegleichungen \({T}_{.j}^{ij}=0\) ausgedrückt, und die homogene Maxwellsche Gleichung hat die Form \begin{eqnarray}{F}_{ij,k}+{F}_{jk,i}+{F}_{ki,j}=0.\end{eqnarray}

Die Konforminvarianz des elektromagnetischen Feldes ist eng verknüpft mit der Spurfreiheit seines Energie-Impuls-Tensors, nämlich der aus (1) direkt folgenden Identität η^ijT_ij = 0.

Die inhomogene Maxwell-Gleichung lautet \begin{eqnarray}{F}^{ik}{}_{,k}=-4\pi {j}^{i},\end{eqnarray} dabei ist jⁱ = ϱdxⁱ/dt die Stromdichte, ϱ die Ladungsverteilung und dxⁱ/dt die Vierergeschwindigkeit. Aus der Divergenz dieser Gleichung erhält man direkt die Kontinuitätsgleichung \({j}_{,i}^{i}=0\).

Dreidimensional: Die drei Komponenten F_0α des Feldstärketensors bilden den Vektor E der elektrischen Feldstärke, und die drei Komponenten F₃₂, F₁₃, F₂₁ bilden den Vektor H der magnetischen Feldstärke. Dann lautet die erste Gruppe der Maxwellgleichungen \begin{eqnarray}\text{rot}{\bf{\text{E}}}=-{{\bf{\text{H}}}}_{,0},\quad \text{div}{\bf{\text{H}}}=0.\end{eqnarray}

Wenn wir noch die drei räumlichen Komponenten von jⁱ mit j bezeichen, lautet die zweite Gruppe \begin{eqnarray}\text{rot}{\bf{\text{H}}}={{\bf{\text{E}}}}_{,0}+4\pi {\bf{\text{j}}},\quad \text{div}{\bf{\text{E}}}=4\pi \varrho.\end{eqnarray}

Die Größe E,₀/(4π) heißt Verschiebungsstrom, was durch das Auftreten des Ausdrucks E,₀ +4πj in obiger Gleichung motiviert ist. Die Kontinuitätsgleichung lautet hier \begin{eqnarray}\text{div}{\bf{j}}+\varrho, 0=0.\end{eqnarray}