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Lexikon der Mathematik: mehrdimensionale Multiskalenanalyse

die natürliche Verallgemeinerung der Multiskalenanalyse.

Die mehrdimensionale Multiskalenanalyse des L2(ℝn) besteht aus einer aufsteigenden Folge abgeschlossener Unterräume {Vj}j∈ℤ des L2(ℝn) mit \begin{eqnarray}\overline{\displaystyle \underset{j=-\infty }{\overset{\infty }{\cup }}{V}_{j}}={L}^{2}({{\mathbb{R}}}^{n})\quad \text{und}\quad \displaystyle \underset{j=-\infty }{\overset{\infty }{\cap }}{V}_{j}=\{0\}.\end{eqnarray}

Der Grundraum V0 wird ähnlich wie im eindimensionalen Fall von einer Skalierungsfunktion φL2(ℝn) erzeugt, wobei {φ(·− k)\k ∈ ℤn} eine Riesz-Basis von V0 bildet. Im Unterschied zur eindimensionalen Multiskalenanalyse werden Translationen k ∈ ℤn vorgenommen, und der Übergang von Vj nach Vj+1 wird mit Hilfe der sogenannten Dilatationsmatrix A beschrieben, d. h. fVjf(A·) ∈ Vj+1. Die Dilatationsmatrix soll in jede Richtung eine Streckung bewirken, also sind die Eigenwerte von A betragsmäßig größer als 1. Weiterhin soll A nur ganzzahlige Einträge besitzen, was mit ∀x ∈ ℤn: A × x ∈ ℤn gleichbedeutend ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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