ein wesentliches Werkzeug der mehrdimensionalen Analysis.

Es sei ein (relativ) einfacher Zugang dazu skizziert-Für ein beliebiges beschränktes Intervall mit den Endpunkten a und b (−∞ < a ≤ b < ∞) notieren wir hier |a, b|, also \begin{eqnarray}|a,b|\in \{[a,b],[a,b),(a,b],(a,b)\}.\end{eqnarray}

Damit seien das Intervallsystem \begin{eqnarray}{\mathbb{I}}:=\{|a,b|:-\infty \lt a\le b\lt \infty \}\end{eqnarray} und die Intervall-Länge \begin{eqnarray}\mu :{\mathbb{I}}\ni |a,b|\mapsto b-a\in [0,\infty )\end{eqnarray} gebildet.

Für n ∈ ℕ werden – in Verallgemeinerung der Intervalle (n = 1), Rechtecke (n = 2) und 3-dimen- sionalen Quader (n = 3) – \begin{eqnarray}{{\mathbb{I}}}_{n}:=\left\{\displaystyle \prod _{v=1}^{n}{A}_{v}|{A}_{v}\in {\mathbb{I}}\right\}\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{\mu }_{n}\left(\displaystyle \prod _{v=1}^{n}{A}_{v}\right):=\displaystyle \prod _{v=1}^{n}\mu ({A}_{v})=({b}_{1}-{a}_{1})\ldots ({b}_{n}-{a}_{n})\end{eqnarray} (für A_v = |a_v, b_v|), also das Produkt der „Kantenlängen“, gebildet. Man hat dann zunächst: \begin{eqnarray}{\mu }_{n}:{{\mathbb{I}}}_{n}\to [0,\infty )\quad \text{ist Inhalt}\quad (\text{Produkt-Inhalt}),\end{eqnarray} d.h., für k ∈ ℕ und \({P}_{0},\ldots, {P}_{k}\in {{\mathbb{I}}}_{n}\) folgt aus \begin{eqnarray}{P}_{0}=\displaystyle \underset{\kappa =1}{\overset{\begin{array}{c}k\\ +\end{array}}{\cup }}{P}_{\kappa }\text{stets}{\mu }_{n}({P}_{0})=\displaystyle \sum _{\kappa =1}^{k}{\mu }_{n}({P}_{\kappa }).\end{eqnarray}

Für A ⊂ ℝⁿ bezeichne χ_A (x) die charakteristische Funktion von A (charakteristische Funktion einer Menge). Dann liefert die lineare Hülle von \(\{{\chi }_{A}|A\in {{\mathbb{I}}}_{n}\}\) gerade \begin{eqnarray}{{\mathfrak{E}}}_{n}:=\left\{\displaystyle \sum _{\kappa =1}^{k}{\alpha }_{\kappa }{\chi }_{{A}_{\kappa }}|{\alpha }_{\kappa }\in {\mathbb{R}},{A}_{\kappa }\in {{\mathbb{I}}}_{n};k\in {\mathbb{N}}\right\},\end{eqnarray} den Unterraum einfacher Funktionen (Treppenfunktionen) des ℝ-Vektorraums \({{\mathfrak{F}}}_{n}:={\mathfrak{F}}({{\mathbb{R}}}^{n},{\mathbb{R}})\) aller reellwertigen Funktionen auf ℝⁿ.

Durch \begin{eqnarray}{i}_{n}\left(\displaystyle \sum _{\kappa =1}^{k}{\alpha }_{\kappa }{\chi }_{{A}_{\kappa }}\right):=\displaystyle \sum _{\kappa =1}^{k}{\alpha }_{\kappa }{\mu }_{n}({A}_{\kappa })\end{eqnarray} ist dann das elementare Integral \begin{eqnarray}{i}_{n}:{\mathfrak{E}}\to {\mathbb{R}}\quad linear\end{eqnarray} gegeben. (Hier ist zunächst nachzuweisen, daß i_n wohldefiniert, also unabhängig von der speziellen Darstellung einer einfachen Funktion, ist.) Man erhält recht einfach die Eigenschaften:

1. \({{\mathfrak{E}}}_{n}\ni h\ge 0\Rightarrow {i}_{n}(h)\ge 0\) a’) i_n ist isoton.
2. \({{\mathfrak{E}}}_{n}\ni h\Rightarrow |h|\in {{\mathfrak{E}}}_{n}\wedge |{i}_{n}(h)|\le {i}_{n}(|h|)\).
3. \({{\mathfrak{E}}}_{n}\ni h,k\Rightarrow h\vee k,h\wedge k\in {{\mathfrak{E}}}_{n},h\cdot k\in {{\mathfrak{E}}}_{n}\).

Für \(f\in {{\mathfrak{F}}}_{n}\) sei – mit infø ≔ ∞ – \begin{eqnarray}\Vert f\Vert :=\inf \{{i}_{n}(h)|{{\mathfrak{E}}}_{n}\ni h\ge |f|\}.\end{eqnarray}

\(||||:{{\mathfrak{F}}}_{n}\to [0,\infty ]\) ist dann eine Integralnorm, d. h. ∥0∥ = 0 und \begin{eqnarray}|f|\le |{f}_{1}|+\cdots +|{f}_{k}|\Rightarrow \Vert f\Vert \le \Vert {f}_{1}\Vert +\ldots +\Vert {f}_{k}\Vert \end{eqnarray} (endlich subadditiv).

Zusätzlich hat man hier \begin{eqnarray}\Vert \alpha f\Vert =|\alpha |\Vert f\Vert (\alpha \in {\mathbb{R}}\backslash \{0\})\text{und}\\ |{i}_{n}(h)|\le {i}_{n}(|h|)=\Vert h\Vert \text{für}h\in {{\mathfrak{E}}}_{n}.\end{eqnarray}

Das Prinzip der Integralfortsetzung (stetige Fortsetzung) liefert für \begin{eqnarray}{\Im }_{n}:\{f\in {{\mathfrak{F}}}_{n}|\exists ({h}_{k})\in {{\mathfrak{E}}}_{n}^{{\mathbb{N}}}\Vert {h}_{k}-f\Vert \to 0(k\to \infty )\}.\end{eqnarray}

\({\Im }_{n}\) ist Unterraum von \({{\mathfrak{F}}}_{n}\) mit \({{\mathfrak{E}}}_{n}\subset {\Im }_{n}\) es existiert eindeutig \(\overline{{\iota }_{n}}:{\Im }_{n}\to {\mathbb{R}}\) linear mit \begin{eqnarray}\overline{{\iota }_{n}}(h)={i}_{n}(h)(h\in {{\mathfrak{E}}}_{n})\mathrm{und}|\overline{{\iota }_{n}}(f)|\le ||f||(f\in {\Im }_{n})\end{eqnarray}

Die Funktionen aus \({\Im }_{n}\) heißen Riemann-integrierbar und \(\overline{{\iota }_{n}}\) Riemann-Integral. Statt \(\overline{{\iota }_{n}}(f)\) notiert man meist wieder i_n(f) oder auch \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\mathop{\underbrace{\displaystyle \int \ldots \displaystyle \int f}}\limits_{n\text{-mal}}({\xi }_{1},\ldots, {\xi }_{n})d({\xi }_{1},\ldots, {\xi }_{n}).\end{array}\end{eqnarray}

Es handelt sich hier i. allg. nicht um Hintereinanderausführung eindimensionaler Integrationen.

(Für den Zusammenhang vergleiche man Mehrfachintegral und iterierte Integration. Zur praktischen Berechnung solcher Integrale Normalbereiche. Daneben ist insbesondere auch der Transformationssatz für das Riemann-Integral auf dem ℝⁿ (und entprechend für das Lebesgue-Integral) hilfreich.)

Die obigen Eigenschaften (a) bis (c) gelten entsprechend für \({\Im }_{n}\) und \(\overline{{\iota }_{n}}\). Zusätzlich hat man: \begin{eqnarray}f\in {\Im }_{n}\Rightarrow \Vert f\Vert =\overline{{t}_{n}}(|f|)(\lt \infty ).\end{eqnarray}

Mit abgeänderten Integralnormen erhält man in gleicher Weise das mehrdimensionale uneigentliche Riemann-Integral und das Lebesgue-Integral.

[1] Hoffmann, D.; Schäfke, F.-W.: Integrale. B.I.-Wissen- schaftsverlag Mannheim Berlin, 1992.
[2] Kaballo, W.: Einführung in die Analysis III. Spektrum Akademischer Verlag, 1999.