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Lexikon der Mathematik: Mehrschrittverfahren

Vorgehensweise zur näherungsweisen (numerischen) Berechnung der Lösung von Anfangswertproblemen gewöhnlicher Differentialgleichungen der Form y′ = f(x, y), y(x0) = y0.

Dabei werden mit einer Unterteilung des Definitionsgebiets in (meist) äquidistante Stellen xi = x0 + ih, i = 1, 2, , Näherungen yi von y(xi) berechnet. Im Gegensatz zu Einschrittverfahren werden in den verwendeten Approximationsformeln an der Stelle xi nicht nur die Werte von xi−1, sondern auch Werte weiter zurückliegender Stellen verwendet. Ein allgemeines (lineares) m-Schrittverfahren läßt sich beschreiben in der Form \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{j=0}^{m}{a}_{j}{y}_{s+j}=h\displaystyle \sum _{j=0}^{m}{b}_{j}f({x}_{s+j},{y}_{s+j})\end{eqnarray}

mit s = im, im, und festen Koeffizienten aj und bj, für die \({a}_{0}^{2}+{b}_{0}^{2}\ne 0\) gelten muß. Üblicherweise ist am = 1 normiert. Das Mehrschrittverfahren heißt explizit, falls bm = 0, andernfalls heißt es implizit. Beispiel für ein explizites Mehrschrittverfahren ist die Adams-Bashforth-Methode, für ein implizites Verfahren die Adams-Moulton-Methode.

Um ein Mehrschrittverfahren anwenden zu können, benötigt man neben dem Startwert y0 auch Näherungen für y1, …, ym−1, welche man z. B. durch ein Einschrittverfahren ermitteln kann.

Der lokale Diskretisierungsfehler di eines Mehrschrittverfahrens an der Stelle xi wird definiert als die Größe \begin{eqnarray}{d}_{i}:=\displaystyle \sum _{j=0}^{m}[{a}_{j}{y}_{s+j}-h{b}_{j}f({x}_{s+j},y({x}_{s+j}))].\end{eqnarray}

Ein Mehrschrittverfahren hat die Verfahrensordnung p, falls di = O(hp+1). Es heißt konsistent, wenn die Verfahrensordnung mindestens gleich 1 ist. Ordnet man dem Mehrschrittverfahren die beiden charakteristischen Polynome \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}\psi (z)=\displaystyle \sum _{j=0}^{m}{a}_{j}{z}^{j} & \mathrm{und} & \phi (z)=\displaystyle \sum _{j=0}^{m}{b}_{j}{z}^{j}\end{array}\end{eqnarray}

zu, so ist die Konsistenz äquivalent mit den Bedingungen ψ(1) = 0 und ψ′(1) − ϕ(1) = 0.

Konsistenz ist noch nicht hinreichend für die Konvergenz des Verfahrens für h → 0. Vielmehr muß es auch noch (null)stabil sein, was besagt, daß die Wurzeln ξ von ψ betragsmäßig ≤ 1 sein müssen, wobei „=“ nicht für mehrfache Wurzeln erfüllt sein darf. Ein Mehrschrittverfahren ist demnach genau dann konvergent, wenn es konsistent und nullstabil ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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