die durch \begin{eqnarray}M(f)(s):=\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}f(t){t}^{s}\frac{dt}{t}\end{eqnarray}

gegebene Integral-Transformation für eine auf der positiven Halbachse ℝ⁺ definierte Funktion f. Man findet diese Defintion gelegendlich auch mit einem Vorfaktor 1/Γ(s), wobei Γ die Eulersche Γ-Funktion bezeichnet.

Die Mellin-Transformation geht aus der Fourier-Transformation durch die Substitution t = e^−x hervor: \begin{eqnarray}M(f)(ik)=\sqrt{2\pi }(\widehat{f\circ 1/\exp })(k).\end{eqnarray}

Ist für ein k > 0 die Funktion t^k−1f(t) ∈ L¹(0, ∞), und ist \({f}^{\prime} (t)\in {L}_{\mathrm{loc}}^{1}\) in einer Umgebung von t₀, d. h. ist dort die Variation von f beschränkt, so ist die Rücktransformation gegeben durch \begin{eqnarray}\begin{array}{c}\displaystyle\frac{f({t}_{0}+0)+f({t}_{0}-0)}{2}=\\ \displaystyle\frac{1}{2\pi i}\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{\lambda \to \infty }\displaystyle \underset{\sigma -i\lambda }{\overset{\sigma +i\lambda }{\int }}M(f)(s){t}_{0}^{-s}ds,\end{array}\end{eqnarray}

wobei σ ≥ k beliebig.

Die Parsevalsche Gleichung für die Mellin-Transformation nimmt die folgende Form an: \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{x}^{2k}|f(t){|}^{2}\frac{dx}{x}=\frac{1}{2\pi }\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}|M(f)(k+iy){|}^{2}dy,\end{eqnarray}

falls f(t)t^k−1/2 ∈ L²(0, ∞).

Wie der folgende Satz zeigt, kann man die Mellin-Transformierte als ein kontinuierliches Analogon der Taylor-Reihe verstehen:

Die Funktion f besitze für kleine 0 < t < t₀eine asymptotische Entwicklung der Form \begin{eqnarray}f(t)=\displaystyle \sum _{k\ge -n}^{N}\displaystyle \sum _{j=0}^{J(k)}{f}_{k,j}{t}^{k}{\mathrm{ln}}^{j}t+O({t}^{N})\end{eqnarray}

mit f_k,J(k) ≠ 0, j ∈ ℕ, k ∈ ℚ. f hat also Pole der Ordnung k ≤ n, die jedoch auch von gebrochener Ordnung sein dürfen, sowie logarithmische Pole bis zu einer beliebigen endlichen Ordnung J(k). Ferner falle f für große t exponentiell ab, d. h. \begin{eqnarray}|f(t)|\le C{e}^{-t\lambda }{\quad}f\ddot{u}r\,t\ge {t}_{0}\end{eqnarray}

und t₀, λ, C geeignet.

Dann konvergiert die Mellin-Transformierte für Re(s) > n absolut gegen eine holomorphe Funktion, und es existiert eine eindeutige meromorphe Fortsetzung von M(f) auf ganz ℂ, die auch mit M(f) bezeichnet werde. Man erhält:

1. Für Re(s) > −N besitzt M(f) an der Stelle s = −k einen Pol der Ordung J(k) +1.

2. M(f)(s)/Γ(s) besitzt um s = 0 die Laurent-Entwicklung \begin{eqnarray}\frac{M(f)(s)}{\Gamma (s)}=\displaystyle \sum _{j=0}^{J(0)}{f}_{0,j}\frac{{(-1)}^{j}j!}{{s}^{j}}+O(s)\end{eqnarray}

Insbesondere hat M(f)/Γ um s = 0 einen Pol der Ordnung J(0).

3. Treten in der asymptotischen Entwicklung von f keine Logarithmen auf, so ist M(f)(s)/Γ(s) bei s = 0 regulär.

[1] Zygmund, A.: Trigonometric Series. Cambridge Univ. Press, 1968.