die für \(x\in \left(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)\) durch \begin{eqnarray}m(x)=\mathrm{ln}\tan \left(\frac{x}{2}+\frac{x}{4}\right)=\mathrm{ln}\sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}\end{eqnarray}

erklärte Funktion \(m:\left(-{\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)\to {\mathbb{R}}\) mit der Ableitung \({m}^{\prime}(x)={\displaystyle \frac{1}{\cos x}}\). Die Mercator-Funktion erhielt ihren Namen, weil sie, obwohl erst 1645 von Henry Bond angegeben, eine Rolle u. a. bei der Konstruktion der 1569 von Mercator entwickelten Seekarte spielt.