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Lexikon der Mathematik: metrischer Fundamentaltensor

gelegentlich auch metrischer Tensor genannt, ein zweifach kovariantes symmetrisches Tensorfeld g auf einer n-dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit Mn.

Der metrische Fundamentaltensor definiert in jedem Tangentialraum Tx(Mn) eine Bilinearform, ⟨X, Y⟩ = gx(X,Y), die das Bogenelement oder die metrische Fundamentalform von g genannt wird (xMn, X, YTx(Mn)). Sind Z1, …, Zn linear unabhängige differenzierbare Vektorfelder auf einer offenen Menge 𝒰Mn, so besitzt jedes andere differenzierbare Vektorfeld eine eindeutig bestimmte Darstellung als Linearkombination der Zi, und die metrische Fundamentalform wird durch die symmetrische Matrix gij(x) = g(Zi, Zj) bestimmt. Es gilt dann für \(X= \sum\nolimits_{i=1}^{n}{\xi }^{i}{Z}_{i}\) und \(Y= \sum \nolimits_{i=1}^{n}{\eta }^{j}{Z}_{j}\)\begin{eqnarray}\langle X,Y\rangle =\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}{g}_{ij}{\xi }^{i}{\eta }^{j}.\end{eqnarray}

In einem lokalen Koordinatensystem (x1…, xn) auf Mn kann man für Zi die Tangentialvektoren i = ∂/∂xi an die Koordinatenlinien wählen. Dann hat die metrische Fundamentalform die Darstellung \begin{eqnarray}d{s}^{2}=\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}{g}_{ij}d{x}^{i}d{x}^{j}\end{eqnarray}

und wird in dieser Form als Bogenelement, d. h. als Quadrat des Differentials der Bogenlänge der differenzierbaren Kurven in Mn angesehen.

Man unterscheidet ausgeartete und nicht ausgeartete metrische Fundamentaltensoren, je nachdem, ob die Determinate det(gij) = 0 ist oder ≠ 0. Ein nicht ausgearteter metrischer Fundamentaltensor heißt Riemannsche Metrik. Riemannsche Metriken unterteilt man in positiv definite und indefinite, je nachdem ob ⟨X, X> 0 für alle Vektoren X ≠ 0 gilt, oder ob dieser Ausdruck auch negative Werte annehmen kann.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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