spezielles äußeres Maß.

Es sei (Ω, d) ein metrischer Raum mit Metrik d, d(A, B) := inf{d(x, y)|x ∈ A, y ∈ B}, und \(\bar{\mu }\) ein äußeres Maß auf 𝒫(Ω). \(\bar{\mu }\) heißt metrisches äußeres Maß auf 𝒫(Ω), wenn für alle A, B ∈ 𝒫(Ω) mit A ≠ ∅, B ≠ ∅ und d(A, B) > 0 gilt \begin{eqnarray}\bar{\mu }(A\cup B)=\bar{\mu }(A)+\bar{\mu }(B).\end{eqnarray}

Ein äußeres Maß \(\bar{\mu }\) auf 𝒫(Ω) ist nun genau dann ein metrisches äußeres Maß, falls die Borelsche-σ-Algebra B(Ω) Untermenge der σ-Algebra \({\mathcal{A}}* :=\{A\in \mathcal{P}(\Omega )|\bar{\mu }(Q)\ge \bar{\mu }(Q\cap A)+\bar{\mu }(Q\backslash A)|\}\) für alle Q ∈ 𝒫(Ω)} ist.

Die Einschränkung des metrischen äußeren Maßes \(\bar{\mu }\) auf die σ-Algebra der \(\bar{\mu }\) -meßbaren Mengen heißt metrisches Maß.