gewöhnliches Differentialgleichungssystem zur Beschreibung einer Substrat-Enzym-Reaktion.

Die Produktion eines Produktes P aus einem Substrat S werde von einem Enzym E katalysiert. Dabei laufen zwei chemische Reaktionen nebeneinander ab. Substrat und Enzym reagieren zu einem Komplex C, und der Komplex zerfällt zum Produkt und dem ursprünglichen Enzym: \begin{eqnarray}\begin{array}{llll}S+E\rightleftarrows C & & & (1)\\ {\rm{C}}\to P+E. & & & (2)\end{array}\end{eqnarray}

Die zeitliche Veränderung der Konzentrationen (sie werden jeweils mit Kleinbuchstaben gekennzeichnet: p, s, e, c) aller beteiligten Stoffe wird durch folgendes Differentialgleichungssystem (DGL-System) beschrieben, wobei die Geschwindigkeiten durch die sog. Ratenkonstanten k₁, k₂, k₋₁ ∈ ℝ gegeben sind: \begin{eqnarray}\begin{array}{llll}\dot{s} & =-{k}_{1}es+{k}_{1}c & & (3)\\ \dot{e} & =-{k}_{1}es+{k}_{-1}c+{k}_{2}c & & (4)\\ \dot{c} & ={k}_{1}es-{k}_{-1}c-{k}_{2}c & & (5)\\ \dot{p} & ={k}_{2}c & & (6)\end{array}\end{eqnarray}

Nach Berücksichtigung von \(\dot{e}+\dot{c}=0(s.(4),(5))\) erhält man unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen c₀ := c(0) = 0 und e₀ := e(0) ∈ ℝ e = e₀ − c. Damit läßt sich das DGL-System reduzieren auf: \begin{eqnarray}\begin{array}{llll}\dot{s} & =-{k}_{1}s({e}_{0}-c)+{k}_{1}c & & (7)\\ \dot{c} & ={k}_{1}s({e}_{0}-c)-({k}_{-1}+{k}_{2})c & & (8)\end{array}\end{eqnarray}

Die maximale Konzentration des Komplexes wird erreicht bei \(\dot{c}\) = 0, woraus s(e₀ − c) = k_Mc folgt mit der sog. Michaelis-Menten-Konstanten \begin{eqnarray}{k}_{M}:=\frac{{k}_{-1}+{k}_{2}}{{k}_{1}}.\end{eqnarray}

Die Reaktionsgeschwindigkeit \(\dot{p}\) ist durch die Anfangsbedingung \begin{eqnarray}\dot{p}(0)={k}_{2}\frac{{s}_{0}{e}_{0}}{{k}_{M}+{s}_{0}}\end{eqnarray}

gegeben. Dies ist die Michaelis-Menten-Gleichung. Sie gibt die Abhängigkeit der Reaktionsgeschwindigkeit zur Zeit 0 in Abhängigkeit von der Anfangs-Konzentration s₀ des Substrates an.