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Lexikon der Mathematik: minimale Menge

nichtleere Teilmenge AM für ein topologisches dynamisches System (M, G, Φ), die abgeschlossene und invarianteMenge ist und keine echte nichtleere Teilmenge mit diesen Eigenschaften enthält. Ist der gesamte Phasenraum M selbst minimal, so heißt das topologische dynamische System minimal.

Das topologische dynamische System ist genau dann minimal, wenn für jedes mM sein OrbitO(m) dicht in M liegt. Ist 0 ≠ AM kompakt, so sind äquivalent:

1. A ist minimal.

2. Für jedes xA ist sein Orbit O(x) dicht in A, d. h. \(\overline{O(x)}=A\).

3. Für jedes xA ist sein Vorwärts-Orbit O+(x) dicht in A, d. h. \(\overline{{O}^{+}(x)}=A\).

4. Für jedes xA ist sein Rückwärts-Orbit O(x) dicht in A, d. h. \(\overline{{O}^{-}(x)}=A\).

5. Für jedes xA ist seine ω-Limesmenge (ω-Limespunkt) ω(x) = A.

6. Für jedes xA ist seine α-Limesmenge (α-Limespunkt) α(x) = A.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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