Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Minimum-χ2-Methode

Methode zur Konstruktion von Punktschätzungen.

Sei X eine Zufallsgröße, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung Pγ bis auf einen unbekannten Parameter γ ∈ Γ ⊆ ℝk bekannt ist. Der Parameter γ ist mit der Minimum-χ2-Methode zu schätzen. Dazu zerlegt man den Wertebereich von X in k disjunkte Klassen K1, …, Kr. Es sei nun \({\overrightarrow{X}}_{n}=({X}_{1},\mathrm{...},{X}_{n})\) eine mathematische Stichprobe vom Umfang n von X, d. h., die Zufallsgrößen Xi sind stochastisch unabhängig voneinander und identisch wie X verteilt. Die Größe Hn(Kj) sei die absolute Klassenhäufigkeit der Klasse Kj, d. h., die Anzahl der Stichprobendaten Xi, i = 1, …, n, die in die Klasse Ki fallen, und es sei \({\overrightarrow{H}}_{n}=({H}_{n}({K}_{1}),\mathrm{..},{H}_{n}({K}_{r}))\) Demgegenüber ist npj(γ) mit pj(γ) = Pγ (XKj) die bei Vorliegen der Verteilung Pγ erwartete absolute Klassenhäufigkeit der Klasse Kj. Man bildet mit diesen Häufigkeiten die Größe \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}S({\overrightarrow{H}}_{n},\gamma )=\displaystyle \sum _{j=1}^{r}\frac{{({H}_{n}({K}_{j})-n{p}_{j}(\gamma ))}^{2}}{n{p}_{j}(\gamma )}, & & (1)\end{array}\end{eqnarray}

die mitunter auch als χ2-Abstandsfunktion bezeichnet wird. Unter einer Minimum-χ2-Schätzung \({\hat{\gamma }}_{n}=T({\overrightarrow{X}}_{n})\) für γ versteht man eine Lösung des Minimum-Problems \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}S({\overrightarrow{H}}_{n},{\hat{\gamma }}_{n})=\mathop{\inf }\limits_{\gamma \in \Gamma }S({\overrightarrow{H}}_{n},\gamma ). & & (2)\end{array}\end{eqnarray}

Die Minimum-χ2-Methode liefert unter bestimmten Regularitätsbedingungen konsistente, asymptotisch normalverteilte und asymptotisch effektive Punktschätzungen für γ. Eine Folge konsistenter Minimum-χ2-Schätzungen \({({\hat{\gamma }}_{n})}_{n}\) ist in dem Sinne asymptotisch äquivalent zu einer Folge konsistenter Maximum-Likelihood-Schätzungen \({({\hat{\gamma }}_{n}^{* })}_{n}\) daß die Differenz \(\sqrt{n}({\hat{\gamma }}_{n}-{\hat{\gamma }}_{n}^{*})\) für n → ∞ in Wahrscheinlichkeit gegen 0 konvergiert. Darüber hinaus besitzt die Zufallsgröße \(S({\overrightarrow{H}}_{n},{\hat{\gamma }}_{n})\) eine asymptotische χ2-Verteilung mit r + k − 1 Freiheitsgraden.

[1] Witting, H.; Nölle, G.: Angewandte Mathematische Statistik. B.G.Teubner Verlagsgesellschaft Stuttgart Leipzig, 1970.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnerinhalte