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Lexikon der Mathematik: Miranda, Nullstellensatz von

lautet:

Ist f = (fi) : D ⊆ ℝn → ℝn stetig auf dem Intervallvektor \({\rm{b}}=([{\mathop{b}}_{i},{\bar{b}}_{i}])\subseteq D,\)und gilt für jedes i ∈ {1, …, n} eine der beiden Eigenschaften

1) fi(x) ≤ 0 für alle xb mit xb und fi(x) ≥ 0 für alle xb mit \({x}_{i}={\bar{b}}_{i}\),

2) fi(x) ≥ 0 für alle xb mit xb und fi(x) ≤ 0 für alle xb mit \({x}_{i}{\bar{b}}_{i}\), dann besitzt f in b mindestens eine Nullstelle.

Der Satz ist äquivalent zum Brouwerschen Fixpunktsatz. Im Fall n = 1 geht er in den Nullstellensatz von Bolzano über, der die Basis des Bisektionsverfahrens zur Einschließung einer Nullstelle von f bildet.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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