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Lexikon der Mathematik: Mischen von Verteilungsfunktionen

Darstellung einer unbekannten (komplizierten) Verteilungs-funktion als gewichtete Summe bekannter (einfacher) Verteilungsfunktionen.

Häufig treten bei der Modellierung stochastischer Größen Verteilungsfunktionen auf, die keiner bekannten Verteilungsfunktion entsprechen. Diese versucht man dann durch eine sogenannte Mischung von bekannten Verteilungsfunktionen darzustellen bzw. zu approximieren.

Unter einer (diskreten) Mischung von Verteilungsfunktionen F1(x), F2(x),…,mit den Gewichten \begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}{a}_{1},{a}_{2},\ldots, \gt 0, & \displaystyle \sum _{k}{a}_{k}=1, & (1)\end{array}\end{eqnarray}

versteht man die Linearkombination \begin{eqnarray}F(x)=\displaystyle \sum _{k}{a}_{k}{F}_{x}(x).\end{eqnarray}

Wegen (1) ist (ak)k eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, und somit ist F(x) ebenfalls eine Verteilungsfunktion. Der Begriff der Mischung wird auf nicht abzählbare Mengen von Verteilungen wie folgt erweitert: Ist(G(x, t)) eine vom Parameter t abhängige Familie von Verteilungsfunktionen und H(t) eine beliebige Verteilungsfunktion, so heißt die durch \begin{eqnarray}F(x)=\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}G(x,t)dH(t)\end{eqnarray}

gebildete Verteilungsfunktion F(x) (stetige) Mischung der Verteilungsfunktionen G(x, t) mit der Gewichtsverteilung H(t).

Eine besondere Rolle in der stochastischen Theorie und Praxis spielen Mischungen von Erlang-Verteilungen. Eine Mischung \begin{eqnarray}F(x)\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{a}_{i}{E}_{{k}_{i},{\lambda }_{i}}(x)\end{eqnarray}

von Erlangverteilungen \({E}_{{k}_{i},{\lambda }_{i}}(x)\) der Ordnung ki mit dem Parameter λi heißt Hypererlangverteilung vom Grade n. Es läßt sich zeigen, daß sich beliebige Verteilungsfunktionen nichtnegativer Zufallsgrößen, die gewisse schwache Stetigkeitsbedingungen erfüllen, durch eine spezielle Hypererlangverteilung approximieren lassen; der entsprechende Satz wird als Approximationssatz bezeichnet:

Für jede Verteilungsfunktion FX(x) einer nichtnegativen Zufallsgröße X gilt für alle x ∈ ℝ, in denen FX(x) stetig ist, \begin{eqnarray}F(x)=\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{\lambda \to \infty }{F}_{\lambda }(x)\end{eqnarray}

mit \begin{eqnarray}{F}_{\lambda }(x)={F}_{X}(0)+\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\left[{F}_{X}\left(\frac{k}{\lambda }\right)-{F}_{X}\left(\frac{k-1}{\lambda }\right)\right]{E}_{k,\lambda }(x),\end{eqnarray}

wobei Ek,λ(x) eine Erlangverteilung der Ordnung k mit dem Parameter λ ist.

Im Sinne der schwachen Konvergenz von Verteilungsfunktionen gilt also Fλ(x) →λ→∞FX(x), wobei Fλ(x) spezielle Hypererlangverteilungen sind, deren Mischungsgewichte ak durch Werte der zu approximierenden Verteilungsfunktion gegeben sind.

Die Mischung von Erlangverteilungen und der Approximationssatz spielen eine große Rolle in der Bedienungstheorie (Warteschlangentheorie) und der Zuverlässigkeitstheorie bei der Modellierung von zufälligen Warte-, Ausfall-, Reparatur- und Bedienzeiten. (Siehe auch Erlangsche Phasenmethode, Mischverteilung).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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