ist definiert durch \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}{E}_{\alpha }(z):=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\frac{{z}^{n}}{\Gamma (1+n\alpha )}, & z\in {\mathbb{C}},\end{array}\end{eqnarray}

wobei α > 0 ist und Γ die Eulersche Γ-Funktion bezeichnet. Es ist E_α eine ganz transzendente Funktion der Ordnung \( {\mathcal L} ({E}_{\alpha })=\frac{1}{\alpha }\). Speziell gilt \begin{eqnarray}{E}_{1}(z)={e}^{z}\end{eqnarray}

und

E₂(z) = cosh \(\sqrt{z}=\frac{1}{2}({e}^{\sqrt{z}}+{e}^{-\sqrt{z}})\).

Für 0 < α < 2 ist E_α im Winkelraum \begin{eqnarray}{W}_{\alpha }=\left\{z\in {\mathbb{C}}:\frac{\alpha }{2}\pi \lt \arg z\lt \left(2-\frac{\alpha }{2}\right)\pi \right\}\end{eqnarray}

beschränkt, aber in keinem größeren Winkelraum.