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Lexikon der Mathematik: Mittag-Leffler-Reihe

Begriff aus der Funktionentheorie.

Es sei D ⊂ ℂ eine offene Menge und φ eine Hauptteil-Verteilung in D, wobei der Träger T von φ eine abzählbar unendliche Menge sei. Die Elemente von T werden in einer Folge (an) angeordnet, wobei jeder Punkt von T genau einmal in der Folge (an) vorkommt. Weiter sei qn = φ(an), d. h. qn ist eine in ℂ \{an} konvergente Laurent-Reihe der Form \begin{eqnarray}{q}_{n}(z)=\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\frac{{c}_{nk}}{{(z-{a}_{n})}^{k}}.\end{eqnarray}

Eine Mittag-Leffler-Reihe zur Hauptteilverteilung φ = (an, qn) ist eine Funktionenreihe der Gestalt \begin{eqnarray}f=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }({q}_{n}-{g}_{n})\end{eqnarray}

mit folgenden Eigenschaften:

• Jede Funktion gn ist holomorph in D.

• Die Reihe ist in D \{a1, a2, a3, … } normal konvergent.

Die Funktionen gn heißen konvergenzerzeugende Summanden.

Ist f eine Mittag-Leffler-Reihe zur Hauptteil-Verteilung (an, qn) in D, so ist f holomorph in D\{a1, a2, a3, }, und für die Hauptteil-Verteilung H(f) von f gilt H(f) = (an, qn). Falls (an, qn) eine endliche Hauptteil-Verteilung ist, d. h. jedes qn besteht nur aus endlich vielen Summanden, so ist f eine in D meromorphe Funktion, deren Polstellenmenge mit {a1, a2, a3, …} übereinstimmt. Für jeden Punkt an ist qn der Hauptteil der Laurent-Reihe von f mit Entwicklungspunkt an.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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