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Lexikon der Mathematik: Mittag-Leffler, Satz von

funktionentheoretische Aussage, die wie folgt lautet:

Es sei D = ℂ eine in offene Menge, φ = (an, dn) eine Hauptteil-Verteilung in D und Tdie Menge der Häufungspunkte von {a1, a2, a3, … } in ℂ. Dann existiert zu φ eine Mittag-Leffler-Reihe in ℂ \ T.

Ist speziell D = ℂ, so ist T = 0, und für die Funktionen gn kann man das Taylor-Polynom Pn,mn zu qn vom Grad mn um 0 wählen, wobei mn geeignet zu bestimmen ist. Falls man mn = m für alle n ∈ ℕ wählen kann, so nennt man die zugehörige Mittag-Leffler-Reihe mit dem kleinsten solchen m die kanonische Reihe zur Hauptteil-Verteilung (an, qn) in ℂ.

Aus dem Satz von Mittag-Leffler lassen sich wichtige Folgerungen ableiten.

Existenzsatz: Es sei D ⊂ ℂ eine offene Menge. Dann ist jede Hauptteil-Verteilung in D mit Träger T die Hauptteil-Verteilung einer in D\T holomorphen Funktion. Jede endliche Hauptteil-Verteilung ist die Hauptteil-Verteilung einer in D meromorphen Funktion.

Satz über die Partialbruchzerlegung meromorpher Funktionen: Es sei D ⊂ ℂ eine offene Menge und f eine in D meromorphe Funktion. Dann ist f in D durch eine Partialbruchreihe darstellbar, d. h. durch eine in D normal konvergente Reihe \(\displaystyle {\sum }_{n=1}^{\infty }{h}_{n}\), wobei jedes hn eine in D meromorphe Funktion mit genau einer Polstelle in D ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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