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Lexikon der Mathematik: Mittel t-ter Ordnung

für t ∈ R \{0} die durch \begin{eqnarray}{M}_{t}({x}_{1},\ldots, {x}_{n}):={\left(\frac{1}{n}\left({x}_{1}^{t}+\cdots +{x}_{n}^{t}\right)\right)}^{\frac{1}{t}}\end{eqnarray}

zu n positiven reellen Zahlen x1, …, xn definierte positive reelle Zahl. Es gilt \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}{M}_{t}({x}_{1},\ldots, {x}_{n})\to \min \{{x}_{1},\ldots, {x}_{n}\} & (t\to -\infty ),\\ {M}_{t}({x}_{1},\ldots, {x}_{n})\to \sqrt[n]{{x}_{1}\cdot \cdots \cdot {x}_{n}} & (t\to 0),\\ {M}_{t}({x}_{1},\ldots, {x}_{n})\to \max \{{x}_{1},\ldots, {x}_{n}\} & (t\to \infty ),\end{array}\end{eqnarray}

daher definiert man \begin{eqnarray}\begin{array}{lll}{M}_{-\infty }({x}_{1},\ldots, {x}_{n}) & := & \min \{{x}_{1},\ldots, {x}_{n}\},\\ {M}_{0}({x}_{1},\ldots, {x}_{n}) & := & \sqrt[n]{{x}_{1}\cdot \cdots \cdot {x}_{n}},\\ {M}_{\infty }({x}_{1},\ldots, {x}_{n}) & := & \max \{{x}_{1},\ldots, {x}_{n}\}.\end{array}\end{eqnarray}

M−1 ist gerade das harmonische Mittel, M0 das geometrische Mittel, M1 das arithmetische Mittel und M2 das quadratische Mittel. Mit Hilfe der allgemeinen Konvexitätsungleichung erhält man die Ungleichung für die Mittel t-ter Ordnung, \begin{eqnarray}{M}_{t}({x}_{1},\ldots, {x}_{n})\le {M}_{u}({x}_{1},\ldots, {x}_{n})\end{eqnarray}

für −∞ ≤ tu ≤ ∞, und aus dieser die Ungleichungen für Mittelwerte. Allgemeiner kann man für t ∈ R \{ 0} und α1, …, αn ∈ (0, 1] mit der Summe 1 das (mit den Gewichten α1, …, αn) gewichtete Mittel t-ter Ordnung definieren durch \begin{eqnarray}{M}_{t}^{{\alpha }_{1},\ldots, {\alpha }_{n}}({x}_{1},\ldots, {x}_{n}):={({\alpha }_{1}{x}_{1}^{t}+\cdots +{\alpha }_{n}{x}_{n}^{t})}^{\frac{1}{t}}\end{eqnarray}

und entsprechend wie oben auch die gewichteten Mittel der Ordnungen −∞, 0, ∞. Auch für die gewichteten Mittel t-ter Ordnung gilt \begin{eqnarray}{M}_{t}^{{\alpha }_{1},\ldots, {\alpha }_{n}}({x}_{1},\ldots, {x}_{n})\le {M}_{u}^{{\alpha }_{1},\ldots, {\alpha }_{n}}({x}_{1},\ldots, {x}_{n})\end{eqnarray}

für −∞ ≤ tu ≤ ∞.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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