Aussagen über Mittelwerteigenschaften des Integrals. Man kennt i.w. zwei Mittelwertsätze der Integralrechnung:

Erster Mittelwertsatz der Integralrechnung: Ist eine (reellwertige) Funktion f über einem Intervall [a, b] (für a, b ∈ ℝ mit a < b) Riemannintegrierbar, so gibt es eine reelle Zahl µ (Mittelwert von f) mit \begin{eqnarray}\inf \{f(x)|x\in [a,b]\}\le \mu \le \sup \{f(x)|x\in [a,b]\}\end{eqnarray}

und \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\mu (b-a).\end{eqnarray}

Ist f stetig, so gilt µ = f(ξ) mit einem geeigneten ξ ∈ [a, b].

Dieser Satz kann einfach erweitert werden zu:

Sind die (reellwertigen) Funktionen f und g über [a, b] Riemann-integrierbar, und hat zudem g konstantes Vorzeichen, so gibt es eine reelle Zahl µ (Mittelwert von f) mit \begin{eqnarray}\inf \{f(x)|x\in [a,b]\}\le \mu \le \sup \{f(x)|x\in [a,b]\}\end{eqnarray}

und \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx=\mu \displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx.\end{eqnarray}

Ist f stetig, so gilt µ = f(ξ) mit einem geeigneten ξ ∈ [a, b].

Insbesondere dieser erweiterte Mittelwertsatz ist hilfreich für die Abschätzung von Integralen.

Statt des Intervalls [a, b] kann (für n ∈ ℕ ) ein geeigneter Bereich im ℝⁿ zugelassen werden. Auch können über das Lebesgue-Integral allgemeinere Funktionen betrachtet werden. Für den Zusatz geht man dann von einem zusammenhängenden Definitionsbereich aus.

Zweiter Mittelwertsatz der Integralrechnung: Es seien f und g auf [a, b] definierte (reellwertige) Funktionen. Ist f monoton und g stetig, so gibt es ein η ∈ [a, b] mit \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx=f(a)\displaystyle \underset{a}{\overset{n}{\int }}g(x)dx+f(b)\displaystyle \underset{n}{\overset{b}{\int }}g(x)dx.\end{eqnarray}