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Lexikon der Mathematik: Mittelwertsatz der Differentialrechnung

besagt, daß es zu −∞ < a < b < ∞ und einer stetigen Funktion f : [a, b] → R, die im Inneren (a, b) differenzierbar ist, ein c ∈ (a, b) gibt mit \begin{eqnarray}{f}^{^{\prime} }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.\end{eqnarray}

Anders gesagt: Es gibt ein t ∈ (0, 1) so, daß mit h := ba gilt: \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}f(a+h)=f(a)+{f}^{^{\prime} }(a+th)h. & (1)\end{array}\end{eqnarray}

Die Voraussetzungen an f können dabei noch abgeschwächt werden, es genügt uneigentliche Differenzierbarkeit in (a, b).

Der Mittelwertsatz wurde 1797 von Joseph Louis Lagrange angegeben, doch seine geometrische Bedeutung, daß es nämlich im Inneren des Intervalls eine Stelle gibt, an der die Tangente an f parallel zur Sekante von f zwischen a und b ist, war schon 1635 Francesco Bonaventura Cavalieri bekannt.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Mittelwertsatz der Differentialrechnung
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Das Trinoid ist die mathematische Beschreibung einer Seifenlamelle, die sich an drei Kreisen ausbildet.

Der Mittelwertsatz wird seiner Wichtigkeit und seiner zahlreichen Anwendungen wegen auch als Fundamentalsatz der Differentialrechnung bezeichnet. Mit seiner Hilfe kann man aus der Ableitung einer Funktion lokale Aussagen über die Funktion selbst gewinnen. Mit ihm lassen sich z. B. der Eindeutigkeitssatz der Differentialrechnung und der Zwischenwertsatz für Ableitungen zeigen, und er ist häufig nützlich für Fehlerabschätzungen.

Der Mittelwertsatz ist äquivalent zum Satz von Rolle, d. h. jeder der beiden Sätze läßt sich sich mit Hilfe des anderen beweisen.

Eine Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes von 1829 von Augustin-Louis Cauchy lautet: Sind die Funktionen f, g : [a, b] → ℝ stetig und in (a, b) differenzierbar, so gibt es ein c ∈ (a, b) mit \begin{eqnarray}{f}^{^{\prime} }(c)(g(b)-g(a))={g}^{^{\prime} }(c)(f(b)-f(a)).\end{eqnarray}

Hat g in (a, b) keine Nullstelle, so gilt g(a) ≠ g(b), d. h. man hat für ein solches c \begin{eqnarray}\frac{{f}^{^{\prime} }(c)}{{g}^{^{\prime} }(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.\end{eqnarray}

Der gewöhnliche Mittelwertsatz ergibt sich als der Spezialfall g(x) = x.

Der Mittelwertsatz überträgt sich leicht auf differenzierbare Funktionen f : D → ℝ, wobei D ⊂ ℝn offen sei: Sind a, bD, und liegt die Verbindungsstrecke [a, b] in D, dann gibt es ein t ∈ (0, 1) so, daß (1) gilt mit h := ba. Dies kann man etwa mittels einer Parametrisierung der Strecke [a, b] zeigen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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