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Lexikon der Mathematik: mittlere Krümmung

die differentielle Invariante h = (k1 + k2)/2 einer regulären Fläche ℱ ⊂ ℝ3, wobei k1 und k2 die beiden Hauptkrümmungen von ℱ sind.

Somit ist 2 h gleich der Spur der Weingartenabbildung von ℱ. Ist Φ(u, v) eine auf einer offenen Menge U ⊂ ℝ2 definierte Parameterdarstellung von ℱ, und sind E, F, G die Koeffizienten der ersten und L, M, N die der zweiten Gaußschen Fundamental-form, so wird h in den Koordinaten u und v als Funktion der Punkte von ℱ durch \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}h=\frac{LG\,-\,2MF\,+\,NE}{2(EG\,-\,{F}^{2})} & (1)\end{array}\end{eqnarray}

ausgedrückt. Zwei wichtige Spezialfälle dieser Formel:

(a) Hat Φ die Gestalt Φ(u, v) = (u, v, z(u, v)) mit einer differenzierbaren Funktion z(u, v), deren partielle Ableitungen nach u und v wir mit zu und zv bezeichnen, so gilt \begin{eqnarray}2h=\frac{\partial }{\partial u}\left(\frac{{z}_{u}}{\sqrt{1+{z}_{u}^{2}+{z}_{u}^{2}}}\right)+\frac{\partial }{\partial v}\left(\frac{{z}_{v}}{\sqrt{1+{z}_{u}^{2}+{z}_{u}^{2}}}\right).\end{eqnarray}

(b) Ist Φ eine konforme Parameterdarstellung, d. h., gilt E(u, v) = G(u, v) und F(u, v) = 0, so vereinfacht sich die Formel (1) zu h = (L + N)/2 E.

Bezeichnet n = Φu × Φv/||Φu × Φv|| den Einheitsnormalenvektor von ℱ, so besteht die folgende Beziehung zwischen n, h, E und dem Laplaceoperator von ΔΦ: \begin{eqnarray}\Delta \Phi =\frac{{\partial }^{2}\Phi }{\partial {u}^{2}}+\frac{{\partial }^{2}\Phi }{\partial {v}^{2}}=2Ehn.\end{eqnarray}

Diese Gleichung zeigt, daß die Komponenten einer konformen Parameterdarstellung einer Minimalfläche harmonische Funktionen sind.

Eine elementargeometrische Erklärung der mittleren Krümmung ist folgende: Betrachtet man einen Punkt xF und die Vollkugel Kr(x) = {y ∈ ℝ3; ||xy|| ≤ r} um x vom Radius r, so ist für kleine Werte von r der Flächeninhalt des Teiles Kr(x) ∩ ℱ von ℱ eine Funktion der Gestalt τx(r) r2, wobei die Werte der Funktion τx(r) für r → 0 gegen 2 π streben; es gilt:

Die mittlere Krümmung h(x) von F im Punkt x ist gleich dem Grenzwert \begin{eqnarray}h(x)=\frac{1}{\pi }\mathop{\mathrm{lim}}\limits_{r\to 0}\frac{2\pi -{\tau }_{x}(r)}{r}.\end{eqnarray}

In Analogie zum Vorgehen bei Flächen im ℝ3 wird die mittlere Krümmung auch für (n − 1)-dimensionale Riemannsche Untermannigfaltigkeiten Nn − 1Mn einer Riemannschen Mannigfaltigkeit Mn als Quotient der Spur der Weingartenabbildung von Nn − 1 und der Dimension n − 1 definiert.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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