wichtiger Begriff in der Theorie der komplexen Mannigfaltigkeiten, der u. a. dazu verwendet werden kann, Übergänge zwischen verschiedenen Abschlüssen des ℂⁿ zu beschreiben.

X und Y seien zusammenhängende n-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeiten, M ⊂ X und N ⊂ Y seien echte abgeschlossene Teilmengen, π : X − M → Y − N sei eine biholomorhe Abbildung. Dann heißt (X, M, π, N, Y) eine Modifikation.

Beispielsweise ist \(({{\rm{{\mathbb{P}}}}}^{n},\,{{\rm{{\mathbb{P}}}}}^{n-1},\,i{d}_{{{\mathbb{C}}}^{n}},\,{\bar{{\rm{{\mathbb{C}}}}}}^{n}\,-\,{{\rm{{\mathbb{C}}}}}^{n},\,{\bar{{\rm{{\mathbb{C}}}}}}^{n})\) eine Modifikation.

Ist φ : X → Y eine holomorphe Abbildung zwischen zusammenhängenden komplexen Mannigfaltigkeiten, dim X = n und dim Y = m, dann heißt \begin{eqnarray}E(\varphi )\,\,:=\{x\,\in \,X\,:\,{\text{dim}}_{x}({\varphi }^{-1}(\varphi (x)))\,\gt \,n\,-\,m\}\end{eqnarray} die Entartungsmenge (exzeptionelle Menge) von φ. Ist dim X = dim Y, so ist, wie sich zeigen läßt, E (φ) ={x ∈ X : x ist nicht isolierter Punkt von φ⁻¹ (φ (x))}.

Es gelten die beiden folgenden Sätze:

Ist φ : X → Y eine holomorphe Abbildung zwischen zusammenhängenden komplexen Mannigfaltigkeiten, so ist E (φ) eine analytische Teilmenge von X.

Projektionssatz: Ist φ : X → Y eine eigentliche holomorphe Abbildung zwischen komplexen Mannigfaltigkeiten und M ⊂ X eine analytische Teilmenge, so ist auch φ (M) ⊂ Y analytisch.

Eine Modifikation (X, M, π, N, Y) heißt eigentlich, wenn sich π zu einer eigentlichen holomorphen Abbildung \(\hat{\pi }\,\,:\,X\,\to \,Y\) so fortsetzen läßt, daß \(M\,=\,E(\hat{\pi })\) ist.

Ist (X, M, π, N, Y) eine eigentliche Modifikation, \(\hat{\pi }\,\,:\,X\,\to \,Y\)eine Fortsetzung im obigen Sinne, dann sind M und N analytische Mengen, und es gilt \(\hat{\pi }(M)\,=\,N\)

Der wichtigste Spezialfall einer eigentlichen Modifikation ist der Hopfsche σ-Prozeß:

Sei G ⊂ ℂⁿ ein Gebiet mit 0 ∈ G, \(\pi \,:\,{{\rm{{\mathbb{C}}}}}^{n}\,-\,\{0\}\,\to \,{{\rm{{\mathbb{P}}}}}^{n-1}\)die natürliche Projektion. Dann ist \begin{eqnarray}X\,:=\,\{(\zeta,x)\,\in \,(G\,-\,\{0\})\,\times \,{{\rm{{\mathbb{P}}}}}^{n-1}\,:\,x\,=\,\pi (\zeta )\}\,\cup \,(\{0\}\,\times \,{{\rm{{\mathbb{P}}}}}^{n-1})\end{eqnarray}eine singularitätenfreie analytische Menge der Ko-dimension (n − 1) in G × ℙⁿ⁻¹, also eine n-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit. Sei φ : X → G die von der Produktprojektion pr₁ : G × ℙⁿ⁻¹ → G induzierte holomorphe Abbildung, ψ := φ | (X − ({0} × ℙ^n-1)) Dann ist \begin{eqnarray}(X,\,\{0\}\,\times \,{{\rm{{\mathbb{P}}}}}^{n-1},\,\psi,\,\{0\},\,G)\end{eqnarray}eine eigentliche Modifikation, die man als den σ-Prozeß bezeichnet.

Anschaulich kann man den ℙⁿ⁻¹ als Menge aller Richtungen im ℂⁿ auffassen. Beim σ-Prozeß werden diese Richtungen im folgenden Sinne auseinandergezogen: Nähert man sich in G − {0} aus der Richtung x₀ ∈ ℙⁿ⁻¹ dem Nullpunkt, etwa auf einem Weg w, so nähert man sich auf dem hochgelifteten Weg ψ⁻¹ ∘w in X−ℙⁿ⁻¹ gerade dem Punkt (0, x₀).

Der σ-Prozeß ist invariant gegenüber biholomorphen Abbildungen, er läßt sich daher auch auf komplexen Mannigfaltigkeiten durchführen.