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Lexikon der Mathematik: Modul einer Kurvenfamilie

wie folgt definierte Kenngröße einer Familie von Kurven:

Es sei B ⊂ ℂ eine Borel-Menge (z. B. eine offene Menge). Eine Kurvenfamilie Γ in B ist eine Menge von Kurven (Wegen) in B. Weiter heißt eine Borelmeßbare Funktion ϱ : B → [0, ∞) zulässig für Γ, falls \begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\int }\limits_{\gamma }\varrho(z)\,|dz|\,\ge \,1\end{eqnarray}

für alle γ ∈ Γ. Der Modul von Γ ist dann gegeben durch \begin{eqnarray}\text{mod}\,\Gamma \,=\,\mathop{\text{inf}}\limits_{\varrho}\displaystyle \mathop{\iint }\limits_{B}{(\varrho(z))}^{2}\,dxdy\,,\end{eqnarray}(2)

wobei das Infimum über alle für Γ zulässigen Funktionen ϱ genommen wird. Es kann vorkommen, daß mod Γ = 0 oder mod Γ = ∞. Die Größe (mod Γ)−1 nennt man auch die extremale Länge von Γ.

Ist speziell B = G ein Gebiet und ϱ eine konforme Metrik in G, so bedeutet (1), daß Lϱ(γ) ≥ 1, wobei Lϱ(γ) die Länge von γ bezüglich ϱ bezeichnet. Dabei ist Lϱ(γ) = ∞ erlaubt. Das Integral in (2) kann als Flächeninhalt von G bezüglich ϱ interpretiert werden.

Beispiel 1. Für a, b > 0 sei B das Rechteck \begin{eqnarray}B\,=\,\{z\,\in \,{\rm{{\mathbb{C}}}}\,:\,0\,\lt \,\text{Re}\,z\,\lt \,a,\,0\lt \text{Im}\,z\,\lt \,b\}\end{eqnarray}

und Γ die Familie aller Kurven in B, die die beiden horizontalen Seiten von B miteinander verbinden. Dann gilt mod \(\text{mod}\,\Gamma \,=\,\frac{a}{b}\). Siehe hierzu auch Modul eines Vierecks.

Beispiel 2. Es sei 0 < r < s < ∞ und B der Kreisring \begin{eqnarray}B\,=\,\{z\,\in \,{\rm{{\mathbb{C}}}}\,:\,r\,\lt \,|z|\,\lt \,s\}\,.\end{eqnarray}

Weiter sei Γ die Familie aller geschlossenen Kurven in B, die die innere Randkomponente von B umlaufen und Γ′ die Familie aller Kurven in B, die die beiden Randkomponenten von B miteinander verbinden. Dann gilt \begin{eqnarray}\text{mod}\,\Gamma \,=\,\frac{1}{2\pi }\,\text{log}\frac{s}{r}\,\,\,\text{und}\,\,\,\text{mod}\,{\Gamma }^\prime\,=\,\frac{1}{\text{mod}\,\Gamma }\,.\end{eqnarray}

Für r = 0 ist mod Γ = ∞ und mod Γ′ = 0. Siehe hierzu auch Modul eines Ringgebietes.

Eine wichtige Eigenschaft des Moduls ist die konforme Invarianz. Dazu sei G ⊂ ℂ ein Gebiet, Γ eine Kurvenfamilie in G und f eine konforme Abbil-dung von G auf ein Gebiet H. Für γ ∈ Γ bezeichne f(γ ) die Bildkurve von γ. Ist f(Γ) die Familie aller Bildkurven f(γ ), so gilt mod f(Γ) = mod Γ.

Einige weitere Eigenschaften des Moduls:

  1. Sind Γ, Γ′ Kurvenfamilien in einer Borel-Menge B ⊂ ℂ mit Γ ⊂ Γ′ oder derart, daß es zu jedem γ ∈ Γ ein γ ′ ∈ Γ′ gibt mit γ ′ ⊂ γ, so gilt mod Γ ≤ mod Γ′. Sind Γ1, Γ2, Γ3,… Kurvenfamilien in B, so gilt \begin{eqnarray}\text{mod}\left(\displaystyle \mathop{\bigcup }\limits_{k}{\Gamma }_{k}\right)\,\le \,\displaystyle \sum _{k}\text{mod}\,{\Gamma }_{k}.\end{eqnarray}
  2. Es seien B1, B2, B3,…, paarweise disjunkte Borel-Mengen und B eine Borel-Menge mit ⋃k BkB. Für jedes k sei Γk eine Kurvenfamilie in Bk. Ist Γ eine Kurvenfamilie in B mit ⋃k Γk ⊂ Γ, so gilt \begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{k}\text{mod}\,{\Gamma }_{k}\,\le \,\text{mod}\,\Gamma \,.\end{eqnarray} Ist Γ eine Kurvenfamilie in B derart, daß es zu jedem γ ∈ Γ ein γk ∈ Γk gibt mit γkγ, so gilt \begin{eqnarray}\frac{1}{\text{mod}\,\Gamma }\,\ge \,\displaystyle \sum _{k}\frac{1}{\text{mod}\,{\Gamma }_{k}}.\end{eqnarray}
  3. Es sei G ⊂ ℂ ein bezüglich ℝ symmetrisches Gebiet, d. h. zG genau dann, wenn \(\bar{z}\,\in \,G\). Weiter seien G+ :={ zG : Im z > 0 }, G := { zG : Im z < 0 }, A+ ⊂ { z∂G : Im z > 0 } und \({A}^{-}\,\,:\,=\,\{z\,\in \,{\rm{{\mathbb{C}}}}:\,\bar{z}\,\in \,{A}^{+}\}\). Ist Γ die Familie aller Kurven in G, die A mit A+ verbinden, und sind Γ± die Familien von Kurven in G±, die ℝ mit A± verbinden, so gilt \begin{eqnarray}\text{mod}\,{\Gamma }^{+}\,=\,\text{mod}\,{\Gamma }^{-}\,=\,2\,\text{mod}\,\Gamma \,.\end{eqnarray}

Der Modul einer Kurvenfamilie spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der konformen Abbildungen.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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