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Lexikon der Mathematik: Modulprobleme

Typus von Klassifikationsproblem, bei denen in der algebraischen Geometrie die Menge der (bis auf Isomorphie) zu klassifizierenden Objekte als Punkte eines Schemas, algebraischen Raumes oder analytischen Raumes dargestellt werden sollen. Diese Konstruktion soll nach Möglichkeit mit Familien der zu konstruierenden Objekte verträglich sein.

Ausgangspunkt war die Feststellung von Riemann (1857), daß auf einer geschlossenen orientierten Fläche vom Geschlecht g ≥ 2 die möglichen konformen Strukturen bis auf Diffeomorphie von 3g − 3 komplexen Parametern abhängen, für welche er den Namen „Moduli“ vorschlug. Diese Feststellung hat im Laufe der Zeit verschiedene Präzisierungen im analytischen oder im algebraischen Kontext erfahren.

Allgemeiner kann man fragen, wieviele komplexe Strukturen bis auf Diffeomorphie auf einer geschlossenen orientierten differenzierbaren Mannigfaltigkeit existieren, und ob diese in sinnvoller Weise durch einen komplexen Raum oder eine algebraische Varietät 𝔐 parametrisiert werden können (Modulraum). Unter „sinnvoll“ soll z. B. folgendes zu verstehen sein: Hat man einen glatten eigentlichen Morphismus \(X\,\mathop{\to }\limits^{\pi }\,S\) komplexer Räume (oder algebraischer Schemata) so, daß alle Fasern Xs = π−1(s) von π orientierungserhaltend diffeomorph zur gegebenen Mannigfaltigkeit sind, so ist die induzierte mengentheoretische Abbildung von S nach 𝔐 ein Morphismus in der analytischen oder algebraischen Kategorie.

In dieser Allgemeinheit ist die Existenz eines Modulraumes in den meisten Fällen nicht möglich. Für die algebraische Geometrie erweist es sich als sinnvoll, polarisierte Varietäten oder algebraische Schemata zu betrachten, d. h. Paare (X, L) aus einer projektiven Varietät X und einem amplen Geradenbündel L auf X, wobei (X, L) und (X′, L′) als äquivalent angesehen werden, wenn es einen Isomorphismus φ : XX′ gibt, so daß φ(L′) numerisch äquivalent zu L ist. Bei den Riemannschen Flächen vom Geschlecht g ≥ 2 ist eine solche Polarisierung auf natürliche Weise durch das kanonische Bündel gegeben. Im Interesse einer geometrisch zu verstehenden Kompaktifizierung von 𝔐 ist es weiterhin sinnvoll, auf die Forderung nach Glattheit von X zu verzichten. An die Stelle glatter eigentlicher Morphismen \(X\,\mathop{\to }\limits^{\pi }\,S\) tritt dann die Forderung nach flachen eigentlichen Morphismen.

Das allgemeine Modulproblem lautet nun: Gegeben sei ein gefasertes Gruppoid \({\mathcal{F} \rightarrow S}\) → S, gibt es einen groben Modulraum?

Falls dies der Fall ist, kann man verschiedene Verschärfungen dieser Frage untersuchen, insbesondere:

Existenz einer universellen Familie: Gibt es ein Objekt (\(({X \rightarrow \mathfrak{M}, \mathcal{L}})=\xi\)) = ξ (oder im abstrakten Kontext: Ein Objekt ξ in \({\mathcal{F}}\) mit \(a(\xi)=\mathfrak{M}\)), so daß der zugehörige Morphismus \(j_\xi=\mathfrak{M} \rightarrow \mathfrak{M}\) die identische Abbildung ist?

Fines Modulproblem: Gibt es ein Endobjekt ξ0 in \({\mathcal{F}}\), d. h. ein Objekt, so daß zu jedem Objekt ξ in \({\mathcal{F}}\) genau ein Morphismus φ : ξξ0 existiert? (Dann ist \(\mathfrak{M}=a(\xi_0)\)) ein grober Modulraum.)

Beispiele für grobe Modulräume sind etwa:

  1. Elliptische Kurven. Der Modulraum ist 𝔸1 (über R = ℤ), und die Invariante ist \begin{eqnarray}j\,=\,{12}^{3}\frac{4{a}^{3}}{4{a}^{3}\,+\,27{b}^{2}}\end{eqnarray} (j-Funktion), wenn die Kurve durch die Gleichung \begin{eqnarray}{y}^{2}\,=\,{x}^{3}\,+\,ax\,+\,b\end{eqnarray} gegeben ist; in Charakteristik 2 oder 3 ist dies nicht möglich, man kann aber auch dafür einen expliziten Ausdruck angeben.
  2. Eine unmittelbare Verallgemeinerung dieses Beispiels sind hauptpolarisierte abelsche Varietäten der Dimension g. Auch in diesem Fall existiert ein grober Modulraum \({\mathcal{A}_g}\).
  3. Für Kurven vom Geschlecht g ≥ 2 existiert ein grobes Modulschema \({\mathfrak{M}_g}\). Indem man sogenannte stabile Kurven einbezieht, erhält man eine Kompaktifizierung \({\overline{{\mathfrak{M}}}}_{g}\).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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