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Lexikon der Mathematik: Möbius-Funktion

die zahlentheoretische Funktion µ : ℕ → {−1, 0, 1}, definiert durch \begin{eqnarray}u(n):=\left\{\begin{array}{ll}1 & \mathrm{falls}n=1,\\ {(-1)}^{\omega (n)} & \mathrm{falls}n\gt 1\,\mathrm{quadratfrei\; ist},\\ 0 & \mathrm{sonst}\end{array}\right.\end{eqnarray}

hierbei bezeichnet ω(n) die Anzahl der Primfaktoren von n.

Die Motivation zur Betrachtung dieser Funktion findet sich in einem 1832 erschienen Aufsatz von Möbius mit dem Titel „Über eine besondere Art von Umkehrung der Reihen“. Er geht darin von einer Funktion aus, die sich als Potenzreihe darstellen läßt: \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}f(x)={a}_{1}x+{a}_{2}{x}^{2}+{a}_{3}{x}^{3}+\ldots & ({a}_{1}\ne 0),\end{array}\end{eqnarray}

und setzt sich das Ziel, die Umkehrung in der Form \begin{eqnarray}x={b}_{1}f(x)+{b}_{2}f({x}^{2})+{b}_{3}f({x}^{3})+\ldots \end{eqnarray}

mit geeigneten Koeffizienten bn zu schreiben. Die bn sind dann durch die Gleichungen a1b1 = 1 und \begin{eqnarray}\begin{array}{cc}\displaystyle \sum _{k {\mathcal L} =m}{a}_{k}{b}_{ {\mathcal L} }=0 & {\rm{f\ddot{u}r}}\,m\ge 2\end{array}\end{eqnarray}

festgelegt, wobei die Summe über alle Zahlenpaare k, ∈ ℕ mit der Eigenchaft kℓ = m zu erstrecken ist. Sind z. B. b1, b2, b3 bereits definiert, so ist b6 durch \begin{eqnarray}{a}_{1}{b}_{6}+{a}_{2}{b}_{3}+{a}_{3}{b}_{2}+{a}_{6}{b}_{1}=0\end{eqnarray}

wegen a1 ≠ 0 eindeutig bestimmt. Möbius wendet dieses Verfahren auf die Funktion \begin{eqnarray}f(x)=x+{x}^{2}+{x}^{3}+\cdots =\frac{x}{1-x}\end{eqnarray}

an und beschreibt die resultierende Reihe \begin{eqnarray}\begin{array}{llll}x & = & f(x)-f({x}^{2})-f({x}^{3})-\ldots & \\ & = & \frac{x}{1-x}-\frac{{x}^{2}}{1-{x}^{2}}-\frac{{x}^{3}}{1-{x}^{3}}-\ldots, & [1.]\end{array}\end{eqnarray}

die er bis zum Glied f(x13) entwickelt, auf folgende Weise:

„In der Reihe [1.], deren allgemeines Glied \({\displaystyle \frac{{x}^{m}}{1-{x}^{m}}}\) und deren Summe = x ist, herrscht demnach das Gesetz, daß für m = 1 und für jedes m, welches das Product aus einer geraden Anzahl von einander verschiedener Primzahlen ist, der Coëfficient des Gliedes = 1 ist, daß jedes Glied, dessen m eine Primzahl selbst, oder ein Product aus einer ungeraden Menge sich nicht gleicher Primzahlen ist, den Coëfficient −1 hat, und daß endlich alle Glieder wegfallen, deren Exponenten Quadrate oder höhere Potenzen von Primzahlen zu Factoren haben.“

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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