Formeln zur „Umkehrung“ gewisser Summendarstellungen von (insbesondere zahlentheoretischen) Funktionen mit Hilfe der Möbius-Funktion µ.

Die Möbiusschen Umkehrformeln beruhen auf der Gleichung

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{d|n}\mu (d)=\left\{ \begin{array}{cc}\ 1 & {\rm{f}}{\rm{\ddot{u}}}{\rm{r}}\, n=1,\\ 0 & {\rm{f}}{\rm{\ddot{u}}}{\rm{r}}\, n \gt 1,\end{array}\right.\end{eqnarray}

wobei sich die Summe über alle Teiler von n (einschließlich d = 1 und d = n) erstreckt.

Folgerungen von Gleichung (1) sind die sogenannte „Erste Möbiussche Umkehrformel“:

Seien f, F : ℕ → ℂ zahlentheoretische Funktionen, dann sind äquivalent:

\begin{eqnarray}\begin{array}{lllll}G(n) & = & \displaystyle \sum _{n\le x}g\left(\frac{x}{n}\right) & f{\ddot{u}}r\,alle\,x \ge 1, & ({A}_{2})\\ g(x) & = & \displaystyle \sum _{n\le x}\mu (n)G\left(\frac{x}{n}\right) & f{\ddot{u}}r\,alle\,n \ge 1; & ({B}_{2})\end{array}\end{eqnarray}

hierbei ist die Summe jeweils über alle natürlichen Zahlen n ≤ x zu erstrecken.

Eine ursprünglichere Variante Möbiusscher Umkehrformeln ist die folgende Äquivalenz, die immer dann gültig ist, wenn die Reihen ∑f(xⁿ) und ∑g(xⁿ) absolut konvergieren:

\begin{eqnarray}\begin{array}{ccc}f(x)=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }g({x}^{n}) & \iff & g(x)=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\mu (n)f({x}^{n}).\end{array}\end{eqnarray}

Riemann benutzte in der Arbeit, in der er die Riemannsche Vermutung beschreibt, die folgende Variante:

\begin{eqnarray}\begin{array}{lll}F(x) & = & \displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}f({x}^{1/n})\\ & & \begin{array}{cc}\iff & f(x)=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\mu (n)}{n}\end{array}F({x}^{1/n}).\end{array}\end{eqnarray}