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Lexikon der Mathematik: Möglichkeitsmaß

Possibility-Maß, ein spezielles Plausibilitätsmaß und damit ein spezielles Fuzzy-Maß.

Eine auf einer σ-Algebra f über dem Stichprobenraum Ω definierte Funktion ∏ : f → [0, 1] heißt Möglichkeitsmaß auf f, wenn gilt: \begin{eqnarray}\begin{array}{l}\Pi (\emptyset)=0,\,\,\,\,\,\,\Pi (\Omega )=1\\ {A}_{1},{A}_{2},\ldots \in f\Rightarrow \Pi \left(\mathop{\bigcup }\limits_{i}Ai\right)=\mathop{\sup }\limits_{i}\Pi ({A}_{i}).\end{array}\end{eqnarray}

Ist Ω eine endliche Menge, so läßt sich die letzte Bedingung abschwächen zu \begin{eqnarray}\begin{array}{l}A,B\subseteq \Omega \,\text{und}\,A\cap B=\emptyset\\ \,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,\,\Pi (A\cup B)=\max (\Pi (A),\,\Pi (B)).\end{array}\end{eqnarray}

Ein Plausibilitätsmaß stellt dann ein Möglichkeitsmaß dar, wenn die Brennpunkte der zugehörigen Basiswahrscheinlichkeitsfunktionen Teilmengen voneinander sind, d. h. F1F2 ⊆ … ⊆ Fm.

Die hier betrachtete epistemische Möglichkeit darf nicht verwechselt werden mit der physikalischen Möglichkeit. Während letztere eine objektive, allgemein überprüfbare Eigenschaft ausdrückt, besteht erstere aus einer subjektiven Beurteilung der Möglichkeit, daß sich ein Ereignis realisiert.

Ein einfacher Weg, ein Möglichkeitsmaß auf einem Mengensystem f über Ω zu definieren, basiert auf der Possibility-Verteilung π(x) auf Ω. Durch die Gleichung \begin{eqnarray}\Pi (A)=\mathop{\sup }\limits_{x\in A}\pi (x)\,\,\,\,\,\,\,\,\text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\,\text{alle}\,A\in f\end{eqnarray}

wird ein Möglichkeitsmaß auf f erzeugt. Dabei heißt eine Funktion π : Ω → [0, 1] Possibility-Verteilung auf dem Stichprobenraum 2, wenn es durch \begin{eqnarray}\mathop{\sup }\limits_{x\in X}\pi (x)=1\end{eqnarray}

normiert ist.

Eine Possibility-Verteilung π(x) auf Ω ist formal mathematisch genauso definiert wie eine (norma-lisierte) Zugehörigkeitsfunktion μA(x) einer unscharfen Menge à = {(x, μA(x)) | xX}, obwohl beide Begriffe auf unterschiedlichen Konzepten basieren. Eine Fuzzymenge à kann interpretiert werden als ein vager Wert, der einer Variablen zugeordnet wird. Dagegen gibt das Möglichkeitsmaß ∏(A) eine Aussage über die Möglichkeit, daß sich ein Element der klassischen Menge A realisiert.

Im Gegensatz zu den Wahrscheinlichkeitswerten, die auf dem Intervall [0, 1] metrisch skaliert sein müssen, reicht für Möglichkeitswerte eine ordinale Skalierung aus.

Vom üblichen Sprachgebrauch her ist die Möglichkeit eine schwächere Bewertung als die Wahrscheinlichkeit. Was wahrscheinlich ist, muß auch möglich sein. Die Umkehrung dieser Aussage ist nicht immer richtig. Ein unmögliches Ereignis ist aber auch immer unwahrscheinlich. Man kann daher die Wahrscheinlichkeitswerte als untere Grenze für die entsprechenden Möglichkeitswerte ansehen: \begin{eqnarray}\Pi (A)\ge P(A)\,\,\,\,\,\,\,\,\text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\,\text{alle}\,A\in f\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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