statistisches Verfahren zur Konstruktion von Punktschätzungen.

Sei X eine Zufallsgröße, deren Verteilungsfunktion F von k ≥ 1 unbekannten Parametern γ_i, i = 1, …, k, abhängt. Für die unbekannten Parameter wird eine Punktschätzung gesucht. Es wird angenommen, daß die Momente von X, hier bezeichnet mit M_j := E(X ^j), mindestens bis zur k-ten Ordnung existieren, das heißt, daß gilt: \begin{eqnarray}|{M}_{j}|\lt \infty \,\text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r}\,\,j=1,\ldots,k.\end{eqnarray}

Da die Verteilungsfunktion F von X von den unbekannten Parametern γ_i, i = 1,…, k abhängt, hängen auch die Momente M_j von X von diesen Parametern über eine funktionale Beziehung \begin{eqnarray}{M}_{j}={g}_{j}({\gamma }_{1},\ldots,{\gamma }_{k}),\,\,\,j=1,\ldots,k\end{eqnarray} ab. Falls diese Gleichungen eindeutig nach γ₁,…, γ_k auflösbar sind, erhält man aus (1) die Lösungen γ_j als Funktion der k Momente: \begin{eqnarray}{\gamma }_{j}={h}_{j}({M}_{1},\ldots,{M}_{k}),\,\,j=1,\ldots,k.\end{eqnarray}

Bei der Momentenmethode geht man von einer mathematischen Stichprobe (X₁,…, X_n) von X aus und ersetzt im Gleichungssystem (2) die Momente M_j durch die entsprechenden empirischen Momente \begin{eqnarray}m_j:=\frac{1}{n}\displaystyle \sum _{l=1}^{n}{({X}_{l})}^{j}.\end{eqnarray}

Die so entstehenden Schätzungen \({\hat{\gamma }}_{j}\): \begin{eqnarray}{\hat{\gamma }}_{j}={h}_{j}({m}_{1},\ldots,{m}_{k}),\,\,j=1,\ldots,k.\end{eqnarray} werden als Punktschätzfunktionen nach der Momentenmethode, kurz als Momentenschätzfunktionen für γ_j, j = 1,…, k, bezeichnet.

Aufgrund Ihrer Einfachheit wird die Momentenmethode häufig der Maximum-Likelihood-Methode zur Konstruktion von Punktschätzungen vorgezogen. Allerdings sind die Eigenschaften der mit der Momentenmethode ermittelten Punktschätzungen nicht generell bekannt. Sie liefert aber für einige spezielle Verteilungen Schätzungen, die identisch mit den Maximum-Likelihood- Schätzungen sind und folglich die gleichen Eigenschaften besitzen.

Bei Anwendungen in der Schadenversicherung wird beispielsweise versucht, empirische Beobachtungen (Schadendaten) durch zweiparametrige Verteilungen mit einer Dichtefunktion p(μ, α)(x) zu beschreiben: Ist ein Satz {r_j}_j=1,…,n von Realisierungen der Zufallsgröße X gegeben, dann berechnen sich nach der Momentenmethode die Schätzer \(\hat{\mu }\) und \(\hat{\alpha }\) für die Verteilungsparameter als Lösungen der Gleichungen \begin{eqnarray}\displaystyle \int xp(\hat{\mu },\,\hat{\alpha })(x)dx=\frac{1}{n}\displaystyle \sum _{j=1}^{n}{r}_{j}\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}\displaystyle \int {x}^{2}p(\hat{\mu },\,\hat{\alpha })(x)dx=\frac{1}{n}\displaystyle \sum _{j=1}^{n}{({r}_{j})}^{2}.\end{eqnarray}

Die Momentenmethode wird auch modifiziert angewendet. Anstelle von (1) geht man von der funktionalen Abhängigkeit der Parameter von den zentralen Momenten \({M}_{1}^{z},\ldots,{M}_{k}^{z}\) aus und stellt die Parameter in Abhängigkeit dieser zentralen Momente dar: \begin{eqnarray}{\gamma }_{j}={h}_{j}({M}_{1}^{z},\ldots,{M}_{k}^{z}),\,\,j=1,\ldots,k.\end{eqnarray}

Ersetzt man in (4) die zentralen Momente durch erwartungstreue und konsistente Schätzfunktionen, so ergeben sich für einige spezielle Verteilungen erwartungstreue und konsistente Momentenschätzungen für die Parameter γ_j, j = 1,…, k.

Beispiel. Die Parameter γ₁ = μ und γ₂ = σ² einer N(μ, σ²)-verteilten Zufallsgröße X sind zu schätzen. Unter Verwendung der Beziehungen \begin{eqnarray}\begin{array}{lllll}{\gamma }_{1} & = & EX & = &{M}_{2} \\ {\gamma }_{2} & = & Var(X) & = & E({X}^{2})-{(EX)}^{2}\\ & & & = &{M}_{2}-{({M}_{1})}^{2}\end{array}\end{eqnarray}

ergeben sich nach (3) folgende Momentenschätzungen \(\hat{\mu }\) und \({\widehat {\sigma}}^{2}\) für μ und σ²: \begin{eqnarray}\begin{array}{lcl}{\hat{\gamma }}_{1} & = & {lll}\hat{\mu } & = & \frac{1}{n}\displaystyle {\sum }_{i=1}^{n}{X}_{i}:=\bar{X}\\ {\hat{\gamma }}_{2} & = & {\hat{\sigma }}^{2} & = & \frac{1}{n}\displaystyle {\sum }_{i=1}^{n}{X}_{i}^{2}-{(\bar{X})}^{2}\\ & & & = & \frac{1}{n}\displaystyle {\sum }_{i=1}^{n}{({X}_{i}-\bar{X})}^{2}=:{S}_{* }^{2}.\end{array}\end{eqnarray}

Diese beiden Schätzungen sind identisch mit den Maximum-Likelihood-Schätzungen und damit konsistent und asymptotisch normalverteilt. Während das arithmetische Mittel \(\bar{X}\) eine erwartungstreue Schätzfunktion für μ ist, ist die Schätzfunktion \({S}_{* }^{2}\) nur asymptotisch erwartungstreu für σ². Man kann leicht zeigen, daß gilt \begin{eqnarray}E({S}_{* }^{2})=\frac{n-1}{n}{\sigma }^{2}.\end{eqnarray}

Eine erwartungstreue Schätzung für σ² erhalten wir folglich durch die Verwendung der sogenannten empirischen Streuung \begin{eqnarray}{S}^{2}=\frac{n}{n-1}{S}_{* }^{2}=\frac{1}{n-1}\displaystyle {\sum }_{i=1}^{n}{({X}_{i}-\bar{X})}^{2}\end{eqnarray}

anstelle von \({S}_{* }^{2}\).