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Lexikon der Mathematik: Monodromiesatz

im engeren Sinne eine funktionentheoretische Aussage, die wie folgt lautet:

Es sei ( f, D) ein analytisches Funktionselement und G ⊂ ℂ ein Gebiet derart, daß D ⊂ G und ( f, D) längs jeden Weges γ :[0, 1] → G mit γ (0) ∈ D eine analytische Fortsetzung besitzt. Weiter seien a ∈ D, bG und γ0, γ1 :[0, 1] → G Wege in G mit γ0(0) = γ1(0) = a und γ0(1) = γ1(1) = b. Die analytischen Fortsetzungen von ( f, D) längs γ0bzw. γ1seien mit ( f0, D0) und ( f1, D1) bezeichnet.

Sind γ0und γ1FEP-homotop (siehe homotope Wege), so gilt f0(z) = f1(z) für alle zD0D1. Insbesondere gilt f0(b) = f1(b).

Eine spezielle Version des Monodromiesatzes für einfach zusammenhängende Gebiete lautet:

Es sei ( f, D) ein analytisches Funktionselement und G ⊂ ℂ ein einfach zusammenhängendes Gebiet derart, daß DG und ( f, D) längs jeden Weges γ :[0, 1] → G mit γ (0) ∈ D eine analytische Fortsetzung besitzt. Dann existiert genau eine in G holomorphe Funktion F derart, daß F(z) = f(z) für alle zD.

Man kennt auch stark abstrahierte Fassungen des Monodromiesatzes; hierfür sind einige Vorbereitungen nötig. Seien X und S glatte projektive algebraische Varietäten über ℂ und \(X\mathop{\to }\limits^{\pi }S\) ein surjektiver Morphismus mit zusammenhängenden Fasern gleicher Dimension.

Der kritische Ort von π ist ein Divisor D = ∑Dj, und es sei vorausgesetzt, daß D nur Normale Kreuzungen hat. Sei S0 = SD, X0 = π−1(S0), π0 : X0(ℂ) → S0(ℂ) die von π induzierte Abbildung, X0 = X0(ℂ), und S0 = S0(ℂ) mit der analytischen Topologie versehen.

Sei s0S0, und sei für jedes Dj γj(t) ein genügend kleiner geschlossener Weg in S0 um die Komponente Dj mit γj(0) = γj(1) = s0, [γj] sei eine Homotopie-Klasse. Ist schließlich ℂX0 die zu ℂ gehörige konstante Garbe auf X0, dann ist für jedes n das höhere direkte Bild Rnπ(ℂX0 ) lokal konstant (mit Halmen Hn(Xs, ℂ), Xs Faser in sS0). Schließlich sei T : π1(S0, s0) → Aut Hn(Xs0, ℂ), Tj = T([γj]) (Picard-Lefschetz-Transformation).

Der Monodromiesatz besagt nun in dieser Situation, daß für eine geeignete ganze Zahl m > 0 \begin{eqnarray}{({T}_{j}^{m}-Id)}^{d+1}=0\end{eqnarray}

gilt (d = dim XS). Mit anderen Worten: Die Eigenwerte der Picard-Lefschetz-Transformation sind Einheitswurzeln, und die Jordanblöcke in der Jordanschen Normalform haben höchstens die Länge d + 1.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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