gleichförmiges Wachstumsverhalten von Funktionen. Eine Funktion f : D → M von einer Halbordnung (D, ≤) in eine Halbordnung (M, ≤) heißt

• monoton wachsend oder isoton genau dann, wenn f(x) ≤ f(y) für alle x, y ∈ D mit x < y,
• monoton fallend oder antiton genau dann, wenn f(x) ≥ f(y) für alle x, y ∈ D mit x < y,
• streng monoton wachsend oder streng isoton genau dann, wenn f(x) < f(y) für alle x, y ∈ D mit x < y,
• streng monoton fallend oder streng antiton genau dann, wenn f(x) > f(y) für alle x, y ∈ D mit x > y.

Gelegentlich sagt man auch „(streng) monoton steigend“ anstelle von „(streng) monoton wachsend“.

Ist D ⊂ ℝ und f : D → ℝ, und bezeichnet Q_f den Differenzenquotienten zu f, so ist f genau dann isoton bzw. antiton bzw. streng isoton bzw. streng antiton, wenn Q_f ≥ 0 bzw. Q_f ≤ 0 bzw. Q_f > 0 bzw. Q_f < 0 gilt. Falls Q_f sowohl positive als auch negative Werte annimmt, ist f also nicht monoton.

Es sei I ⊂ ℝ ein Intervall. Ist f : I → ℝ injektiv und stetig, so ist f monoton. Es sei I offen und f : I → ℝ differenzierbar. Dann ist f genau dann isoton bzw. antiton, wenn f ′ ≥ 0 bzw. f ′ ≤ 0 gilt (Monotoniekriterium). Hat man f ′ > 0 bzw. f ′ < 0, so ist f streng isoton bzw. streng antiton, doch gilt die Umkehrung hiervon nicht, wie das Beispiel f(x) = x³ zeigt.

Eine Funktion muß in keinem Teilintervall ihres Definitionsbereichs monoton sein, wie etwa die Dirichletsche Sprungfunktion zeigt. Für eine an der Stelle a differenzierbare Funktion f folgt zwar etwa aus f ′(a) > 0, daß f an der Stelle a streng wächst (lokales Wachstumsverhalten), d. h. daß es ein ε > 0 so gibt, daß f(x) < f(a) für x ∈ (a − ε, a) gilt und f(a) < f(x) für x ∈ (a, a + ε), doch auch dann muß f in keiner Umgebung von a monoton sein. Beispielsweise ist die in Abbildung 1 gezeigte Funktion f : ℝ → ℝ mit \begin{eqnarray}f(x)=\left\{\begin{array}{cll} x &\text{,}& x\,\in \,{\mathbb{Q}}\\ x\,+\,{x}^{2} & \text{,} & x\,\in \,{\mathbb{R}}\,\backslash{\mathbb{Q}}\end{array}\right.\end{eqnarray}

differenzierbar an der Stelle 0 mit f ′(0) = 1, doch in keiner Umgebung von 0 monoton (und in ℝ \{0} nicht einmal stetig).

Selbst die Bedingung f ′(a) ≠ 0 und die Differenzierbarkeit in einer ganzen Umgebung von a ist nicht hinreichend für die Monotonie in einer Umgebung von a, wie man etwa an f : ℝ → ℝ mit \begin{eqnarray}f(x)=\left\{\begin{array}{clc}x\,(1\,+\,2x\,\sin \,\frac{1}{x})&\text{,}& x\,\ne \,0\\ 0 & \text{,} & x\,=\,0\end{array}\right.\end{eqnarray} sieht (Abbildung 2). f ist differenzierbar mit f ′(0)=1, aber in keiner Umgebung von 0 monoton.

Ferner gibt es sogar streng monotone stetige Funktionen mit fast überall verschwindender Ableitung.