Verallgemeinerung der Charakterisierung der holomorphen Abbildungen φ : X → Y zwischen Bereichen X ⊂ ℂⁿ und Y ⊂ ℂ^m mit Hilfe der Liftung holomorpher Funktionen \({\varphi }^{0}:{}_{X}{\mathcal{O}}\to {}_{Y}{\mathcal{O}}, f\mapsto f\circ \varphi {|}_{{\varphi }^{-1}(W)}\), W ⊂ Y offen, \(f\in {}_{Y}{\mathcal{O}}\quad(W)\).

Ein Morphismus \(\varphi :(S,{}_{S}{\mathcal{A}})\to (T,{}_{T}{\mathcal{A}})\) von geringten Räumen ist ein Paar (|φ|, φ⁰), bestehend aus einer stetigen Abbildung |φ| : |S| → |T| und einem |φ|- Komorphismus \({\varphi }^{0}:{}_{T}{\mathcal{A}}\to {}_{S}{\mathcal{A}}\) von Algebren, d. h. einer Familie von Algebrahomomorphismen

\begin{eqnarray}{\varphi }^{0}:={\left({\varphi }^{0}(V):{}_{T}{\mathcal{A}}(V)\to {}_{S}{\mathcal{A}}({\varphi }^{-1}(V))\right)}_{V\subset T},\end{eqnarray}

die mit den Einschränkungen in \({}_{T}{\mathcal{A}}\) und \({}_{S}{\mathcal{A}}\) verträglich ist. Dabei bezeichnet man zur Unterscheidung eines geringten Raumes \(S=(S,{}_{S}{\mathcal{A}})\) von seinem zugrundeliegenden topologischen Raum den letzteren mit |S| .

Für zwei Morphismen φ : S → T und ψ : T → U von geringten Räumen definiert man ψ ∘ φ ≔ (|ψ| ○ |φ|, φ⁰ ○ ψ⁰). Häufig schreibt man ‘φ’ anstelle von ,|φ|‘, obwohl der Komorphismus φ⁰ i. a. nicht durch |φ| bestimmt ist. Es gilt der folgende Satz:

Ist (|φ| , φ⁰) : S → T ein Morphismus von geringten Räumen, und ist S reduziert, dann ist φ⁰durch |φ| bestimmt: φ⁰(f) = (Red f) ○ |φ| für \(f\in {}_{T}{\mathcal{A}}\).

Dies führt zu der folgenden Standard-Terminologie für reduzierte geringte Räume S und T: Eine stetige Abbildung τ : |S| → |T| heißt Morphismus von geringten Räumen S und T, wenn das ,Urbild‘ f ○ τ für jedes \(f\in {}_{T}{\mathcal{A}}\) in \({}_{S}{\mathcal{A}}\) liegt.

Beispiele. 1. Ist φ : S → T eine stetige Abbildung von topologischen Räumen, und bezeichne φ⁰ die Liftung von Funktionen, dann ist \((\varphi ,{\varphi }^{0}):(S,{}_{S}{\mathcal{C}})\to (T,{}_{S}{\mathcal{C}})\) ein Morphismus.

2. Für einen Bereich X ⊂ ℂⁿ, bezeichne \(i:{}_{X}{\mathcal{O}}\to {}_{X}{\mathcal{C}}\) die kanonische Inklusion, dann ist (id_X, i) : \((X,{}_{X}{\mathcal{C}})\to (X,{}_{X}{\mathcal{O}})\) ein Morphismus. Dabei sei \({}_{X}{\mathcal{O}}\) die Strukturgarbe von X und \({}_{X}{\mathcal{C}}\) die Garbe der stetigen Funktionen auf X.