eine Abbildung \(f:{V}_{1}\times \cdots \times {V}_{n}\to {\mathbb{K}}\) (hierbei sind V₁,… , V_n Vektorräume über \({\mathbb{K}}\)), die linear in jeder Komponente ist, d. h. für die für alle \(\alpha \in {\mathbb{K}}\) und \({v}_{{i}_{1}},{v}_{{i}_{2}},{v}_{i}\in {V}_{i}\) (1 ≤ i ≤ n) gilt:

\begin{eqnarray}\begin{array}{ll}f({v}_{1},\ldots ,{v}_{{i}_{1}}+{v}_{{i}_{2}},\ldots {v}_{n})=\\ f({v}_{1},\ldots ,{v}_{{i}_{1}},\ldots ,{v}_{n})+f({v}_{1},\ldots ,{v}_{{i}_{2}},\ldots ,{v}_{n});\end{array}\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}f({v}_{1},\ldots ,\alpha {v}_{i},\ldots {v}_{n})=\alpha f({v}_{1},\ldots ,{v}_{i},\ldots {v}_{n}).\end{eqnarray}

Man spricht dann auch von einer n-fachen Linearform; eine 2-fache Linearform wird meist als Bilinearform bezeichnet. Ist der Bildbereich nicht notwendig der Körper \({\mathbb{K}}\), sondern ein beliebiger Vektorraum über \({\mathbb{K}}\), so spricht man allgemeiner von multilinearen Abbildungen oder n-fach linearen Abbildungen. Die Menge L(V₁, &cdots; , V_n; W) aller n-fach linearen Abbildungen f : V₁ × &cdots; × V_n → W (V_i und W \({\mathbb{K}}\)-Vektorräume) wird durch komponentenweise erklärte Vektorraumaddition und komponentenweise erklärte Skalarmultiplikation selbst zu einem Vektorraum über \({\mathbb{K}}\). Ist \({({v}_{ij(i)})}_{j(i)\in {J}_{i}}\) eine Basis von V_i (1 ≤ i ≤ n), so gibt es genau eine multilineare Abbildung f : V₁ × &cdots; × V_n → W mit

\begin{eqnarray}f({v}_{1j(1)},\ldots ,{v}_{nj(n)})\end{eqnarray}

beliebig, aber fest vorgegeben in W für alle (j(1), … , j(n)) ∈ J₁ × … × J_n.

Sind alle V_i und W endlich-dimensional, so bilden die im folgenden definierten Abbildungen eine Basis von L(V₁, … , V_n; W) ((w_j)_j∈J Basis von W):

\begin{eqnarray}\begin{array}{ll}{f}_{i(1)\ldots i(n)j}({v}_{1j(1)},\ldots ,{v}_{nj(n)})=\\ \quad\left\{\begin{array}{ll}{w}_{j} & \text{falls} i(1)=j(1),\ldots ,i(n)=j(n),\\ 0 & \text{sonst}.\end{array}\right.\end{array}\end{eqnarray}

(Dabei durchläuft i(1) die Menge J₁, …, i(n) die Menge J_n, und j die Menge J.) Der Vektorraum L(V₁, … , V_n; W) ist für jedes i ∈ {1, … , n} isomorph zum Vektorraum

\begin{eqnarray}L({V}_{i};L({V}_{1},\ldots ,{V}_{i-1},{V}_{i+1},\ldots ,{V}_{n};W))\end{eqnarray}

aller linearen Abbildungen von V_i in L(V₁, … , V_i−1, V_i+1, …, V_n; W). Speziell ist der Vektorraum aller Bilinearformen auf (V₁, V₂) isomorph zu den Vektorräumen \(L({V}_{1},{V}_{2}^{* })\) und \(L({V}_{2},{V}_{1}^{* })\) (Dualraum). Sind W und alle V_i endlich-dimensional, so gilt

\begin{eqnarray}\begin{array}{ll}\dim L({V}_{1},\ldots ,{V}_{n};W)=\\ \dim {V}_{1}\cdot \ldots \cdot \dim {V}_{n}\cdot \dim W.\end{array}\end{eqnarray}

Ist (b₁,…, b_m) eine Basis von V, so ist eine multilineare Abbildung f : Vⁿ → W durch die mⁿ Bildvektoren f (b_i1, … , b_in) ∈ W, wobei (i₁,…, i_n) die Menge {1, …, m}ⁿ durchläuft, eindeutig festgelegt. Ist f alternierend und m ≥ n, so genügen die \(\left(\begin{array}{c}m\\ n\end{array}\right)\) Bildvektoren f (b_i1,… , b_in) mit 1 ≤ i₁ < &cdots; < i_n ≤ m zur Festlegung von f. Insbesondere sind für m = n alle alternierenden multilinearen Abbildungen skalare Vielfache einer einzelnen (von Null verschiedenen) unter ihnen.

Beispiel: v₁, … v_n bezeichnen Spaltenvektoren aus \({{\mathbb{K}}}^{n}\). Durch die Abbildung det : \({({{\mathbb{K}}}^{n})}^{n}\to {\mathbb{K}}\); (v₁, …, v_n) ↦ det (v₁, …, v_n)) (Determinante einer Matrix) ist eine n-fache alternierende Multilinearform auf dem Vektorraum \({{\mathbb{K}}}^{n}\) gegeben.