Polynomialverteilung, mehrdimensionale diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Ist n eine natürliche Zahl und sind p₁, …, p_k, k ≥ 2, positive reelle Zahlen mit \(\displaystyle {\sum }_{i=1}^{k}{p}_{i}=1\), so heißt das durch

\begin{eqnarray}P(\{({n}_{1},\ldots ,{n}_{k})\})=\left(\begin{array}{c}n\\ {n}_{1},\ldots ,{n}_{k}\end{array}\right){p}_{1}^{{n}_{1}}\cdot \ldots \cdot {p}_{k}^{{n}_{k}}\end{eqnarray}

für alle \(({n}_{1},\ldots ,{n}_{k})\in {{\mathbb{N}}}_{0}^{k}\) mit \(\displaystyle {\sum }_{i=1}^{k}{n}_{i}=n\) eindeutig festgelegte und oft mit \({\mathcal{M}}(n,{p}_{1},\ldots ,{p}_{k})\) bezeichnete Wahrscheinlichkeitsmaß P die Multinomialverteilung mit den Parametern n und p₁, …, p_k. Hier bezeichnet der Ausdruck

\begin{eqnarray}\left(\begin{array}{c}n\\ {n}_{1},\ldots ,{n}_{k}\end{array}\right)\end{eqnarray}

den Multinomialkoeffizienten.

Ist X = (X₁, …, X_k) ein mit den Parametern n und p₁, …, p_k multinomialverteilter zufälliger Vektor, so sind die Erwartungswerte seiner Komponenten für i = 1, …, k durch E(X_i) = np_i gegeben. Für die Elemente der Kovarianzmatrix Cov(X) = (Cov(X_i, X_j))_{i,j=1,… ,k} gilt

\begin{eqnarray}Cov({X}_{i},{X}_{j})=\left\{\begin{array}{rr}n{p}_{i}(1-{p}_{i}), & i=j,\\ -n{p}_{i}{p}_{j}, & i\ne j.\end{array}\right.\end{eqnarray}

Der Wert P({n₁, …, n_k}) der Multinomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, daß bei n unabhängigen Wiederholungen eines Experimentes mit k möglichen Ausgängen genau n₁-mal der erste, n2 -mal der zweite Ausgang, usw. realisiert wird.