Lexikon der Mathematik: Multiplikation von Matrizen
die durch (1) definierte Verknüpfung einer (m × n)-Matrix A = (aij) über \({\mathbb{K}}\) mit einer (n × p)-Matrix B = (bij) über \({\mathbb{K}}\):
\begin{eqnarray}\begin{array}{cc}C=({c}_{ij}):=AB:=\left(\left(\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{a}_{ik}{b}_{kj}\right)\right)\end{array}\end{eqnarray}
(1 ≤ i ≤ m; 1 ≤ j ≤ p). Das Element cij der Ergebnismatrix C ist also das „Produkt der i-ten Zeile von A mit der j-ten Spalte von B“. Das Multiplikationsergebnis C ist eine (m × p)-Matrix über \({\mathbb{K}}\) und wird als das Produkt von A und B bezeichnet. Stimmen Zeilenzahl von A und Spaltenzahl von B nicht überein, so ist ein Produkt AB nicht definiert; im anderen Fall werden die Matrizen A und B auch als verkettet bezeichnet.Mit der elementweise definierten Addition und der durch (1) definierten Multiplikation wird die Menge aller (n × n)-Matrizen über \({\mathbb{K}}\) zu einem Ring, dessen Einselement die Einheitsmatrix ist.
Einige Rechenregeln: Die Multiplikation von Matrizen ist assoziativ ((AB)C = A(BC)) und distributiv (A(B + C) = AB + AC; (A + B)C = AC + BC),und es gilt für die transponierte Matrix
\begin{eqnarray}{(AB)}^{t}={B}^{t}{A}^{t}.\end{eqnarray}
Im allgemeinen ist die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ; gilt aber AB = BA, so heißen A und B (miteinander) vertauschbar. Miteinander vertauschbare Matrizen sind notwendigerweise quadratisch von gleicher Größe. Die Matrizenmultiplikation ist nicht nullteilerfrei (d. h., es gibt Matrizen A und B, beide verschieden von der Nullmatrix 0, jedoch AB = 0).
Beschreiben die Matrizen A und B bezüglich fest gewählter Basen B1, B2 und B3 in den Vektorräumen V1, V2 und V3 die linearen Abbildungen g : V1 → V2 und f : V2 → V3, so beschreibt das Produkt AB die Kompositionsabbildung f ○ g : V1 → V3 bzgl. B1 und B3.
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