eine zahlentheoretische Funktion f : ℕ → ℂ, die nicht identisch 0 ist, mit der Eigenschaft

\begin{eqnarray}f(mn)=f(m)\cdot f(n)\quad\quad \text{falls}\quad m,\quad n\quad \text{teilerfremd}.\end{eqnarray}

Gilt f (mn) = f (m) f (n) für beliebige m, n ∈ ℕ, so heißt f vollständig multiplikativ.

Beispiele:

1. Für festes r ∈ ℝ ist die durch n ↦ n^r gegebene Funktion vollständig multiplikativ.

2. Ein Dirichlet-Charakter (Charakter modulo m) ist eine multplikative Funktion.

3. Die Möbius-Funktion μ ist multiplikativ, aber nicht vollständig multiplikativ.

4. Für ein Polynom f (x) mit ganzzahligen Koeffizienten und m ∈ ℕ bezeichne ϱf (m) die Anzahl der (ganzzahligen) Lösungen der Kongruenz f (x) ≡ 0 mod m. Dann ist ϱf eine multiplikative Funktion.

Die multiplikativen Funktionen besitzen eine algebraische Struktur:

Sind f, g : ℕ → ℂ multiplikative Funktionen, so ist auch ihr Dirichlet-Produkt

\begin{eqnarray}f\ast g:{\mathbb{N}}\to {\mathbb{C}},\quad\quad (f\ast g)(n)=\displaystyle \sum _{rs=n}f(r)g(s),\end{eqnarray}

Beim Beweis dieses Satzes macht man wesentlich Gebrauch von der Bedingung „falls m, n teilerfremd“. Die vollständig multiplikativen Funktionen besitzen keine solche Struktur; das Dirichlet-Produkt zweier vollständig multiplikativer Funktionen ist zwar eine multiplikative Funktion, aber nicht notwendigerweise vollständig multiplikativ.

Ein abstrakteres Verständnis von multiplikativen Funktionen ist das folgende: Eine Funktion \(f\in {\mathbb{A}}\text{(}P\text{)}\), wobei P ein Verband und \({\mathbb{A}}\text{(}P\text{)}\) die Inzidenzalgebra von P ist, heißt multiplikativ, wenn Sie invertierbar ist, und falls ferner für alle [x, y] ⊆ P mit [x ∨ y, x ∧ y] ≅ [x ∨ y, x] × [x ∨ y, y] gilt:

\begin{eqnarray}f(x\wedge y,\quad x\vee y)=f(x\wedge y,x)\cdot f(x\wedge y,y).\end{eqnarray}