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Lexikon der Mathematik: multivariate Normalverteilung

mehrdimensionale Normalverteilung, mehrdimensionale Verallgemeinerung der Normalverteilung.

Es sei μ ∈ ℝn ein Vektor und Σ ∈ ℝn × n eine symmetrische positiv definite, insbesondere also reguläre Matrix. Dann wird das durch die n- dimensionale Wahrscheinlichkeitsdichte

\begin{eqnarray}f:{{\mathbb{R}}}^{n}\ni x\to \frac{\exp \{-\frac{1}{2}{(x-\mu )}^{{\rm{{\rm T}}}}{{\rm{\Sigma }}}^{-1}(x-\mu )\}}{{(2\pi )}^{n/2}{|{\rm{\Sigma }}|}^{1/2}}\in {\mathbb{R}}\end{eqnarray}

(wobei |Σ| die Determinante von Σ angibt) definierte Wahrscheinlichkeitsmaß als multivariate Normalverteilung mit Erwartungsvektor ß und Kovarianzmatrix Σ, oder kurz als N](μ, Σ)-Verteilung bezeichnet. Für n = 2 spricht man auch von einer bivariaten und für n = 3 von einer trivariaten Normalverteilung. Besitzt ein auf einem Wahrscheinlichkeitsraum \(({\rm{\Omega }},\quad {\mathfrak{A}},\quad P)\) definierter zufälliger Vektor X = (X1,… ,Xn) mit Werten in ℝn eine N(μ, Σ)-Verteilung, so gilt für den Erwartungsvektor E(X) = μ und für die Kovarianzmatrix Cov(X) = Σ, wodurch die obige Bezeichnung gerechtfertigt wird. Ist X = (X1, X2) speziell ein bivariat normalverteilter zufälliger Vektor, so ist der Wert von f für jedes x = (x1, x2) durch

\begin{eqnarray}\begin{array}{c}f(x)=\\ \frac{1}{2\pi {\sigma }_{1}{\sigma }_{2}\sqrt{1-{\varrho }^{2}}}\exp \{-\frac{1}{2(1-{\varrho }^{2})}(\frac{{({x}_{1}-{\mu }_{1})}^{2}}{{\sigma }_{1}^{2}}\\ -2\varrho \frac{({x}_{1}-{\mu }_{1})({x}_{2}-{\mu }_{2})}{{\sigma }_{1}{\sigma }_{2}}+\frac{{({x}_{2}-{\mu }_{2})}^{2}}{{\sigma }_{2}^{2}})\}\end{array}\end{eqnarray}

gegeben, wobei ϱ = ϱ(X1, X2) den Korrelationskoeffizienten von X1 und X2 sowie μ = E(Xi) den Erwartungswert und \({\sigma }_{i}=\sqrt{Var({X}_{i})}\) die Standardabweichung von Xi, i = 1, 2, bezeichnet. Die Abbil-dung zeigt die Dichtefunktion der bivariaten Normalverteilung, für den Fall, daß es sich bei μ um den Nullvektor und bei Σ um die Einheitsmatrix handelt.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel multivariate Normalverteilung
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Dichte einer bivariaten Normalverteilung

Besitzt der zufällige Vektor X mit Werten in ℝn eine N(μ, Σ)-Verteilung, und ist A ∈ ℝk×n eine Matrix mit RgA = k, sowie b ∈ ℝk ein Vektor, so besitzt der zufällige Vektor Y = AX + b eine k-dimensionale N( + b, AΣA&Tgr;)-Verteilung. Einige Autoren wählen diesen Sachverhalt als Ausgangspunkt für eine äquivalente alternative Definition der multivariaten Normalverteilung. Ein zufälliger Vektor X mit Werten in ℝn wird nach dieser Definition als N(μ, AA&Tgr;)-verteilt bezeichnet, wenn ein zufälliger Vektor Z = (Z1,… ,Zm) mit Werten in ℝm von m unabhängigen identisch standardnormalverteilten reellen Zufallsvariablen Z1, … ,Zm, ein Vektor μ ∈ ℝn, und eine Matrix A ∈ ℝn×m mit RgA = n existieren, derart daß X die gleiche Verteilung wie der Vektor AZ + μ besitzt. Man kann zeigen, daß diese Definition nicht von der speziellen Wahl von A abhängt, d. h. man kann A durch jede Matrix B × ℝn × m mit BB&Tgr; = AA&Tgr; Diese Definition eröffnet auch die Möglichkeit zur Definition sogenannter singulärer Normalverteilungen. Dazu wird lediglich die Forderung RgA = n aufgegeben.

Besitzt der zufällige Vektor X eine multivariate Normalverteilung, so ist auch jede Randverteilung ein- oder mehrdimensional normal. Man beachte jedoch, daß es Beispiele von mehrdimensionalen Verteilungen mit normalverteilten Randverteilungen gibt, die selbst nicht multivariat normal sind. Ist X multivariat normalverteilt, so gilt dies auch für die bedingten Verteilungen von X bezüglich einzelner Komponenten oder Subvektoren. Die Komponenten eines multivariat normalverteilten Vektors sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn sie paarweise unkorreliert sind. Aus der Tatsache, daß endlich viele normalverteilte reelle Zufallsvariablen paarweise unkorreliert sind, folgt aber nicht ihre Unabhängigkeit.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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