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Lexikon der Mathematik: n-Bein-Formalismus

koordinatenfreier Formalismus zur Beschreibung einer n-dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit.

Im 4-dimensionalen Riemannschen Raum wird dieser auch synonym als Vierbein-Formalismus oder Tetradenformalismus bezeichnet.

Ein n-Bein ist ein n-Tupel von linear unabhängigen Vektoren. Es kann deshalb als Basis für die Projektion von Tensoren dienen. Der einfachste Fall eines n-Beins entsteht wie folgt: Sind xi Koordinaten in der Riemannschen Mannigfaltigkeit, dann bilden die Tangentialvektoren an die Koordinatenlinien ein n-Bein. Solche n-Beine heißen auch holonome Basis. Umgekehrt gilt: Diejenigen n-Beine, die sich nicht auf diese Weise erzeugen lassen, heißen anholonome Basis.

Der n-Bein-Formalismus der Relativitätstheorie benutzt meistens nur solche n-Beine, die in jedem Punkt ein Orthonormalsystem darstellen, d. h., jeder Vektor hat das Längenquadrat 1, und die Vektoren stehen paarweise senkrecht aufeinander. Man spricht dann von einem orthonormierten n-Bein. Es gilt: Bildet ein orthonormiertes n-Bein eine ho- lonome Basis, so ist der Raum flach.

Physikalisch ergibt sich folgende Vereinfachung in der Interpretation allgemeinrelativistischer Systeme: Bei Verwendung von Projektionen auf ein orthonormiertes 4-Bein stimmen Koordinatenzeit und Eigenzeit stets überein, und entsprechendes gilt für Abstände.

Die Gleichsetzung von Koordinatenbasis mit holonomer Basis ist zwar in der Literatur verbreitet, gilt aber, strenggenommen, nur für einfach zusammenhängende Umgebungen.

Genauer: Die in Klammern gesetzten Indizes numerieren die Vektoren des n-Beins durch, die einfachen Indizes sind Tensorindizes. Alle Indizes laufen von 1 bis n. Das n-Bein wird also durch die n Vektorfelder \({e}_{(a)}^{i}\) beschrieben, lineare Unabhängigkeit heißt, daß für die als (n × n)-Matrix interpretierten Zahlen gilt: \(\det {e}_{(a)}^{i}\ne 0\).

Das inverse n-Bein \({e}_{j}^{(a)}\) ist durch die Bedingung \({e}_{(a)}^{i}{e}_{j}^{(a)}={\delta }_{j}^{i}\) definiert, dabei wird die Einsteinsche Summenkonvention angewandt.

Das Anholonomieobjekt \({T}_{ij}^{(a)}\) wird durch

\begin{eqnarray}{T}_{ij}^{(a)}={e}_{i,j}^{(a)}-{e}_{j,i}^{(a)}\end{eqnarray}

definiert. Das Komma bezeichnet die partielle Ableitung. Es wird definiert: Das n-Bein heißt holonom, wenn das Anholonomieobjekt identisch verschwindet. Innerhalb einer einfach zusammenhängende Umgebung folgt daraus, daß es sich dann um eine Koordinatenbasis handelt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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