Lexikon der Mathematik: n-dimensionale Kugel
Menge aller Punkte eines n–dimensionalen Raumes, die von einem gegebenen Punkt M (dem Mittelpunkt) einen konstanten Abstand R (den Radius) haben.
Die n-dimensionale Kugel (auch als n-dimensionale Hypersphäre oder n-Sphäre bezeichnet) ist damit eine Verallgemeinerung des Kreises in der Ebene und der Kugel (bzw. Sphäre) im Raum. Sie läßt sich durch eine Gleichung der Form
\begin{eqnarray}{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}+\cdots +{x}_{n}^{2}={R}^{2}\end{eqnarray}
Das Volumen Vn einer n-dimensionalen Kugel mit dem Radius R läßt sich ausdrücken durch
\begin{eqnarray}{V}_{n}=\displaystyle \underset{0}{\overset{R}{\int }}{A}_{n}{r}^{n-1}dr=\frac{{A}_{n}{R}^{n}}{n},\end{eqnarray}
wobei An der Oberflächeninhalt der n-dimensionalen Kugel mit dem Radius 1 ist. Dieser Oberflächeninhalt läßt sich mit Hilfe der Eulerschen Γ-Funktion darstellen durch\begin{eqnarray}{A}_{n}=\frac{2{\pi }^{\frac{n}{2}}}{{\rm{\Gamma }}\left(\frac{n}{2}\right)},\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}{V}_{n}=\frac{2{\pi }^{\frac{n}{2}{R}^{n}}}{n\cdot {\rm{\Gamma }}\left(\frac{n}{2}\right)}=\frac{{\pi }^{\frac{n}{2}}{R}^{n}}{n\cdot {\rm{\Gamma }}\left(\frac{n}{2}\right)}=\frac{{\pi }^{\frac{n}{2}}{R}^{n}}{{\rm{\Gamma }}\left(1+\frac{n}{2}\right)}\end{eqnarray}
ergibt.Interessant ist dabei das Verhalten des Volumens und des Oberflächeninhalts der n-dimensionalen Kugel mit dem Radius R = 1 in Abhängigkeit von der Dimension n: Die Funktion Vn(n) erreicht ihr Maximum bei n ≈ 5,257 die Funktion An(n) bei n ≈ 7,257; für n → ∞ konvergieren beide Funktionen gegen Null. Somit sind das Volumen der 5–dimensionalen Kugel mit \({V}_{5}=\frac{8}{15}{\pi }^{2}\approx 5,264\) und der Oberflächeninhalt der 7–dimensionalen Kugel mit \({A}_{7}=\frac{16}{15}{\pi }^{3}\approx 33,073\) jeweils maximal. (Zum Vergleich: Das Volumen der „gewöhnlichen“ dreidimensionalen Einheitskugel beträgt \({V}_{3}=\frac{4}{3}\pi \approx 4,189\), ihr Oberflächeninhalt ist A3 = 4π ≈ 12,566.)
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