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Lexikon der Mathematik: n-Eck

auch Polygon genannt, geschlossener Streckenzug mit n Eckpunkten A1, A2 ... An.

Ein n-Eck heißt windschief, falls seine Eckpunkte nicht in einer Ebene liegen; ansonsten handelt es sich um ein ebenes n-Eck. Falls es außer den Eckunkten keine weiteren gemeinsamen Punkte zweier Seiten eines ebenen n-Ecks gibt, so handelt es sich um ein einfaches n-Eck, anderenfalls um ein überschlagenes n-Eck, falls sich zwei nicht aufeinanderfolgende Strecken in einem Punkt schneiden, sowie um ein nicht überschlagenes n-Eck, falls ein Eckpunkt auf einer ihm nicht benachbarten Strecke liegt.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel <i/>n-Eck
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Nicht einfaches überschlagenes n-Eck

Abbildung 2 zum Lexikonartikel <i/>n-Eck
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Nicht einfaches nicht überschlagenes n-Eck

Jedes einfache ebene n-Eck teilt die Ebene in zwei Teile (das Innere und das Äußere des n-Ecks), die durch die Gesamtheit der Seiten des n-Ecks voneinander getrennt sind. Ein einfaches n-Eck heißt konvex, falls Verbindungsstrecken beliebiger Punkte P und Q des Inneren des n-Ecks nur innere Punkte enthalten und ansonsten konkav.

Abbildung 3 zum Lexikonartikel <i/>n-Eck
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Konvexes n-Eck

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Konkaves n-Eck

Die Summe der Längen der Seiten heißt Umfang eines n-Ecks. Verbindungsstrecken zweier nicht benachbarter Eckpunkte eines n-Ecks werden auch als Diagonalen bezeichnet. Von jedem Eckpunkt gehen (n − 3) Diagonalen aus, nämlich zu allen Eckpunkten außer der betrachteten Ecke selbst und den beiden benachbarten Ecken. Jedes n-Eck besitzt somit (da jede Diagonale von zwei Eckpunkten aus gezählt werden kann) insgesamt

\begin{eqnarray}\frac{n(n-3)}{2}\end{eqnarray}

Diagonalen.

Die Summe der Größen der Innenwinkel eines n–Ecks hängt einzig und allein von der Zahl n der Ecken ab, siehe Winkelsumme im n-Eck.

Ein konvexes n-Eck heißt regelmäßig, regulär oder gleichseitig, falls alle seine Seiten gleich lang sind (Gauß, Satz von, über n-Ecke).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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