Sammelname für mehrere Resultate zur Frage der isometrischen Einbettbarkeit Riemannscher Mannigfaltigkeiten in einen Euklidischen Raum genügend hoher Dimension.

Jede Untermannigfaltigkeit \({\tilde{M}}^{n}\subset {{\mathbb{R}}}^{m}\quad(m\ge n)\) ist mit der induzierten Riemannschen Metrik g_i versehen.

Der allgemeine, vergleichsweise unanschauliche und abstrakte Begriff der Riemannschen Mannigfaltigkeit ist eine Verallgemeinerung dieser „eingebetteten“ Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Er führt auf die Frage, ob durch diese Verallgemeinerung wirklich neue Riemannsche Mannigfaltigkeiten entstehen, die zu keiner der eingebetteten \(\tilde{M}\subset {{\mathbb{R}}}^{m}\) isometrisch sind, wobei die Dimension m des Einbettungsraumes außer der Ungleichung n ≤ m keinerlei Einschränkungen unterliegt. Der Satz von Nash gibt eine negative Antwort auf diese Frage, d. h., für jede Riemannsche Mannigfaltigkeit Mⁿ existieren eine natürliche Zahl m und eine isometrische Einbettung in den Raum ℝ^m.

Die kleinste der möglichen derartigen Dimensionszahlen m ist eine von der Metrik g und der Mannigfaltigkeitsstruktur von Mⁿ abhängende Invariante. Nach einem Resultat von David Hilbert gibt es z. B. keine isometrische Immersion der hyperbolischen Ebene H² in den ℝ³. Nach dem Satz von Nash existiert aber für ein gewisses m > 3 eine Einbettung von H² in den ℝ^m.

Für die genaue Formulierung der Sätze von Nash wird folgende Bezeichnungsweise benötigt. Eine Mannigfaltigkeit M heißt differenzierbar von der Klasse C^r, wenn die Übergangsfunktionen der Karten des die Mannigfaltigkeitsstruktur von M definierenden Atlas’ Abbildungen der Klasse C^r sind. Sind M und N zwei Mannigfaltigkeiten der Klasse C^s mit s ≥ r, so definiert man den Raum C^r(M, N) als Menge aller Abbildungen f : M → N, deren lokale Kartendarstellungen zur Klasse C^r gehören.

Es sei Mⁿ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und g die Riemannsche Metrik von Mⁿ. Ist f : Mⁿ → ℝ^m eine Immersion (bzw. Einbettung), so bezeichne f*(g) die durch f auf Mⁿ induzierte Metrik. Man nennt f kurz, wenn die Differenz g − f*(g) ein positiv definites symmetrisches Tensorfeld auf Mⁿ ist. Dann gilt folgender Satz über C¹-Einbettungen und C¹-Immersionen:

Unter der Voraussetzung m ≥ n + 1 folgt aus der Existenz einer kurzen Immersion (bzw. Einbettung) f : Mⁿ → ℝ^m, daß auch eine isometrische Immersion (bzw Einbettung) \(\tilde{f}:{M}^{n}\to {{\mathbb{R}}}^{m}\)existiert.

Ferner geben wir den Satz von Nash über reguläre Einbettungen an:

Ist Mⁿ eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension n und der Klasse C^r mit 3 ≤ r ≤ ∞, so existiert eine isometrische Einbettung der Klasse C^r von Mⁿ in den Raum ℝ^m für m = (3n² + 11n)/2.

Ist Mⁿ nicht kompakt, so existiert eine solche Einbettung ebenfalls, es muß aber m durch den größeren Wert m₁ = (3n² + 11 n)(n + 1)/2 ersetzt werden.

Die Methoden und Resultate von J. Nash wurden in der Folgezeit verbessert. M. Günther zeigte u. a., daß die oben genannte untere Grenze m₁ der möglichen Dimensionen des Einbettungraumes durch

\begin{eqnarray}{m}_{1}=\text{Max}\quad\{\frac{n(n+5)}{2},\frac{n(n+3)}{2}+5\}\end{eqnarray}

Andere Resultate von J. Nash betreffen reelle algebraische Mannigfaltigkeiten, d. h, glatte Untermannigfaltigkeiten \({\tilde{M}}^{n}\subset {{\mathbb{R}}}^{m}\), die durch polynomiale Gleichungen und Ungleichungen definiert sind.