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Lexikon der Mathematik: Nash, Einbettungssatz von

Sammelname für mehrere Resultate zur Frage der isometrischen Einbettbarkeit Riemannscher Mannigfaltigkeiten in einen Euklidischen Raum genügend hoher Dimension.

Jede Untermannigfaltigkeit \({\tilde{M}}^{n}\subset {{\mathbb{R}}}^{m}\quad(m\ge n)\) ist mit der induzierten Riemannschen Metrik gi versehen.

Der allgemeine, vergleichsweise unanschauliche und abstrakte Begriff der Riemannschen Mannigfaltigkeit ist eine Verallgemeinerung dieser „eingebetteten“ Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Er führt auf die Frage, ob durch diese Verallgemeinerung wirklich neue Riemannsche Mannigfaltigkeiten entstehen, die zu keiner der eingebetteten \(\tilde{M}\subset {{\mathbb{R}}}^{m}\) isometrisch sind, wobei die Dimension m des Einbettungsraumes außer der Ungleichung nm keinerlei Einschränkungen unterliegt. Der Satz von Nash gibt eine negative Antwort auf diese Frage, d. h., für jede Riemannsche Mannigfaltigkeit Mn existieren eine natürliche Zahl m und eine isometrische Einbettung in den Raum ℝm.

Die kleinste der möglichen derartigen Dimensionszahlen m ist eine von der Metrik g und der Mannigfaltigkeitsstruktur von Mn abhängende Invariante. Nach einem Resultat von David Hilbert gibt es z. B. keine isometrische Immersion der hyperbolischen Ebene H2 in den ℝ3. Nach dem Satz von Nash existiert aber für ein gewisses m > 3 eine Einbettung von H2 in den ℝm.

Für die genaue Formulierung der Sätze von Nash wird folgende Bezeichnungsweise benötigt. Eine Mannigfaltigkeit M heißt differenzierbar von der Klasse Cr, wenn die Übergangsfunktionen der Karten des die Mannigfaltigkeitsstruktur von M definierenden Atlas’ Abbildungen der Klasse Cr sind. Sind M und N zwei Mannigfaltigkeiten der Klasse Cs mit sr, so definiert man den Raum Cr(M, N) als Menge aller Abbildungen f : MN, deren lokale Kartendarstellungen zur Klasse Cr gehören.

Es sei Mn eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und g die Riemannsche Metrik von Mn. Ist f : Mn → ℝm eine Immersion (bzw. Einbettung), so bezeichne f*(g) die durch f auf Mn induzierte Metrik. Man nennt f kurz, wenn die Differenz gf*(g) ein positiv definites symmetrisches Tensorfeld auf Mn ist. Dann gilt folgender Satz über C1-Einbettungen und C1-Immersionen:

Unter der Voraussetzung mn + 1 folgt aus der Existenz einer kurzen Immersion (bzw. Einbettung) f : Mn → ℝm, daß auch eine isometrische Immersion (bzw Einbettung) \(\tilde{f}:{M}^{n}\to {{\mathbb{R}}}^{m}\)existiert.

Ferner geben wir den Satz von Nash über reguläre Einbettungen an:

Ist Mn eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension n und der Klasse Cr mit 3 ≤ r ≤ ∞, so existiert eine isometrische Einbettung der Klasse Cr von Mn in den Raumm für m = (3n2 + 11n)/2.

Ist Mn nicht kompakt, so existiert eine solche Einbettung ebenfalls, es muß aber m durch den größeren Wert m1 = (3n2 + 11 n)(n + 1)/2 ersetzt werden.

Die Methoden und Resultate von J. Nash wurden in der Folgezeit verbessert. M. Günther zeigte u. a., daß die oben genannte untere Grenze m1 der möglichen Dimensionen des Einbettungraumes durch

\begin{eqnarray}{m}_{1}=\text{Max}\quad\{\frac{n(n+5)}{2},\frac{n(n+3)}{2}+5\}\end{eqnarray}

weiter nach unten versetzt werden kann.

Andere Resultate von J. Nash betreffen reelle algebraische Mannigfaltigkeiten, d. h, glatte Untermannigfaltigkeiten \({\tilde{M}}^{n}\subset {{\mathbb{R}}}^{m}\), die durch polynomiale Gleichungen und Ungleichungen definiert sind.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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