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Lexikon der Mathematik: natürliche Gleichung einer ebenen Kurve

die Gleichung κ2,α (s) = k(s), in der k(s) eine vorgegebene Funktion ist, α(s) = (x(s),y(s)) eine durch ihre Bogenlänge s parametrisierte Kurve, und κ2,α (s) ihre als Funktion von s dargestellte Krümmung.

Die natürliche Gleichung ist die durch die Frenetschen Formeln der ebenen Kurventheorie gegebene Differentialgleichung für die unbekannte Kurve a. Ihre Lösung ist z. B. für k(s) = 1/r = const > 0 ein Kreis vom Radius rz, und für k(s) = as, a ∈ ℝ, eine Klothoide. Für beliebige Funktionen k(s) erhält man die Lösung durch zweimaliges Integrieren:

\begin{eqnarray}x(s)=\displaystyle \underset{{s}_{o}}{\overset{s}{\int }}\cos (l(\sigma ))d\sigma ,\quad\quad\quady(s)=\displaystyle \underset{{s}_{o}}{\overset{s}{\int }}\sin (l(\sigma ))d\sigma .\end{eqnarray}

Dabei ist \(l(\sigma )=\displaystyle {\int }_{{\sigma }_{0}}^{\sigma }k(\tau )d\tau \) eine Stammfunktion von k(s).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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