Lexikon der Mathematik: natürliche Transformation
ein Morphismus η : S → T von Funktoren.
Es seien \({\mathcal{C}}\) und \({\mathcal{D}}\) Kategorien und \(S,T:{\mathcal{C}}\to {\mathcal{D}}\) zwei Funktoren. Eine natürliche Transformation η ist gegeben durch die Vorgabe von \(Mo{r}_{{\mathcal{D}}}(S(A),T(A))\) für alle \(A\in Ob({\mathcal{C}})\) derart, daß das abgebildete Diagramm kommutiert.
Für alle Morphismen f : A → B in der Kategorie \({\mathcal{C}}\) gilt also T(f) ○ ηA = ηB ○ S(f).
Handelt es sich bei den Objekten um Mengen, so bedeutet dies anschaulich, daß es eine Möglichkeit gibt, für alle A den Elemente von S(A) in natürlicher Weise Elemente aus T(A) so zuzuordnen, daß die Zuordnung verträglich ist mit den Morphismen zwischen den Mengen A und B (bzw. mit den Morphismen, die unter den Funktorabbildungen entstehen).
Eine natürliche Transformation η : S → T, für welche die ηA für alle A invertierbare Morphismen sind, heißt natürliche Äquivalenz oder natürlicher Isomorphismus (zweier Funktoren). Dies wird auch η : S ≡ T geschrieben. Zwei Kategorien \({\mathcal{C}}\) und \({\mathcal{D}}\) heißen äquivalent, falls es ein Paar von Funktoren
\begin{eqnarray}S:{\mathcal{C}}\to {\mathcal{D}},\quad\quad\quad\quad\quad T:{\mathcal{D}}\to {\mathcal{C}}\end{eqnarray}
und natürliche Isomorphismen\begin{eqnarray}{1}_{{\mathcal{C}}}\equiv T\circ S,\quad\quad\quad\quad\quad{1}_{{\mathcal{D}}}\equiv S\circ T\end{eqnarray}
gibt (\({1}_{{\mathcal{C}}}\) und \({1}_{{\mathcal{D}}}\) sind die Identitätsfunktoren).Gilt sogar Gleichheit, also
\begin{eqnarray}{1}_{{\mathcal{C}}}=T\circ S,\quad\quad\quad\quad\quad{1}_{{\mathcal{D}}}=S\circ T,\end{eqnarray}
so nennt man die Kategorien isomorph.Die Äquivalenz von Kategorien ist ein wichtiges Konzept. Sie erlaubt es, Fragestellungen in einer Kategorie in eine eventuell besser behandelbare Kategorie zu transportieren und dort zu beantworten.
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