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Lexikon der Mathematik: natürliche Zahlen als Summe zweier Quadrate

die Frage, welche natürlichen Zahlen sich als Summe zweier Quadratzahlen darstellen lassen; sie findet sich schon bei Diophant. Die Antwort lautet:

Eine natürliche Zahl n ist genau dann als Summe von zwei Quadratzahlen darstellbar, wenn in ihrer Primfaktorenzerlegung die Primzahlen der Form 4k + 3 nur mit geradem Exponenten vorkommen.

Die vollständige Lösung des Problems für Primzahlen liefert der Zwei-Quadrate-Satz von Euler. Beim Schluß von den Primzahlen auf zusammengesetzte Zahlen benutzt man die Formel

\begin{eqnarray}({a}^{2}+{b}^{2})({c}^{2}+{d}^{2})={(ac+bd)}^{2}+{(ad-bc)}^{2},\end{eqnarray}

die manchmal „Formel von Fibonacci“ genannt wird, und die vermutlich schon Diophant bekannt war.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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