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Lexikon der Mathematik: negative Binomialverteilung

Pascal-Verteilung, das durch die diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte

\begin{eqnarray}f:{{\mathbb{N}}}_{0}\ni k\to \left(\begin{array}{c}m+k-1\\ m-1\end{array}\right){p}^{m}{(1-p)}^{k}\in [0,1]\end{eqnarray}

auf der Potenzmenge \({\mathfrak{P}}({{\mathbb{N}}}_{0})\) der natürlichen Zahlen inklusive Null definierte und von den Parametern m ∈ ℕ und p ∈ (0, 1) abhängende diskrete Wahrscheinlichkeitsmaß P.

Der Wert P({k}) = f (k) der negativen Binomialverteilung mit den Parametern m und p gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, daß bei unabhängigen Wiederholungen eines Zufallsexperimentes mit den beiden Ausgängen Erfolg und Mißerfolg und der Erfolgswahrscheinlichkeit p vor dem m-ten Erfolg genau k Mißerfolge eintreten. Die negative Binomialverteilung stellt somit eine Verallgemeinerung der geometrischen Verteilung dar. Ihren Namen verdankt die Verteilung dem Umstand, daß die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse in der Form

\begin{eqnarray}P(\{k\})=\left(\begin{array}{c}-m\\ k\end{array}\right){(-1)}^{k}{(1-p)}^{k}{p}^{m}\end{eqnarray}

dargestellt werden können, welche an die Binomialverteilung erinnert.

Ist X eine mit den Parametern m und p negativ binomialverteilte Zufallsvariable, so gilt für den Erwartungswert

\begin{eqnarray}E(X)=m\frac{1-p}{p}\end{eqnarray}

und für die Varianz

\begin{eqnarray}Var(X)=m\frac{1-p}{{p}^{2}}.\end{eqnarray}

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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