die zu einer ganzen Zahl ⟨k, ℓ⟩ durch

\begin{eqnarray}-\langle k,\ell \rangle :=\langle \ell ,k\rangle \end{eqnarray}

erklärte ganze Zahl mit der Eigenschaft

\begin{eqnarray}\langle k,\ell \rangle +(-\langle k,\ell \rangle )=0,\end{eqnarray}

wenn die ganzen Zahlen ℤ als Äquivalenzklassen ⟨k, ℓ⟩ von Paaren (k, ℓ) natürlicher Zahlen bzgl. der durch

\begin{eqnarray}(k,\ell )\sim (m,n):\iff k+n=m+\ell \end{eqnarray}

erklärten Äquivalenzrelation eingeführt werden. Definiert man ℕ als die kleinste induktive Teilmenge des axiomatisch eingeführten Körpers ℝ der reellen Zahlen und ℤ als −ℕ ∪ {0} ∪ ℕ, so ist ℤ gegenüber der von ℝ geerbten Negation abgeschlossen, man erhält also das Negative einer ganzen Zahl in ℤ als ihr Negatives in ℝ.