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Lexikon der Mathematik: Netz

im topologischen Sinne eine Abbildung ϕ : IX einer gerichteten Menge I in eine Menge X.

Anstelle von ϕ bezeichnet man ein Netz oft auch durch Angabe (xi)iI seines Bilds. Netze sind eine Verallgemeinerung von Folgen, denn diese sind Netze mit Indexmenge I = ℕ.

Netze in diesem Sinne wurden bereits 1922 von E.H. Moore und H.L. Smith eingeführt und werden deshalb bisweilen als Moore-Smith-Folgen bezeichnet. Netze sind eng mit Filtern verwandt, tatsächlich sind beide Konzepte in gewissem Sinne äquivalent.

Im Kontext Endliche Geometrie ist ein Netz eine Inzidenzstruktur aus Punkten und Geraden, die folgende Axiome erfüllt:

  • Durch je zwei Punkte geht höchstens eine Gerade.
  • Ist g eine Gerade und P ein Punkt, der nicht in g enthalten ist, dann gibt es genau eine Gerade durch P, die mit g keinen Punkt gemeinsam hat.
  • Jede Gerade enthält mindestens zwei Punkte; es gibt einen Punkt, durch den mindestens zwei Geraden gehen.

Wegen des zweiten Axioms zerfällt die Menge der Geraden in mehrere Parallelenklassen (d. h. Mengen von Geraden, die sich paarweise nicht schneiden und die Punktmenge partitionieren). Schließt man den Fall aus, daß es genau zwei Parallelenklassen gibt, so kann man zeigen, daß alle Geraden die gleiche Anzahl k von Punkten haben, daß jede Parallelenklasse genau k Geraden enthält, und daß es genau k2 Punkte gibt. Die maximale Anzahl von Parallelenklassen ist k + 1; in diesem Fall ist das Netz eine affine Ebene.

Im Kontext Maßtheorie ist ein Netz ein Mengenhalbring mit spezieller Struktur: Es sei Ω eine Menge und \({\mathcal{A}}\) ein σ-Mengenring auf Ω, wobei eine isotone Folge \(({A}_{n}|n\in {\mathbb{N}})\subseteq {\mathcal{A}}\) existiert mit \({\cup }_{n\in {\mathbb{N}}}{A}_{n}={\rm{\Omega }}\).

\({{\mathcal{N}}}_{1}:=({A}_{i}^{(1)}|n\in {\mathbb{N}})\) sei eine abzählbare paarweise disjunkte Zerlegung von Ω in Mengen aus \({\mathcal{A}}\), \(({A}_{ij}^{(2)}|j\in {\mathbb{N}})\) eine abzählbare paarweise disjunkte Zerlegung von \({A}_{i}^{(1)}\) in Mengen aus \({\mathcal{A}}\), \({{\mathcal{N}}}_{2}:=({A}_{ij}^{2}|(i,j)\in {{\mathbb{N}}}^{2})\), usw. Dann heißt der Mengenhalbring

\begin{eqnarray}{\mathcal{N}}:=\displaystyle \mathop{\bigcup }\limits_{n\in {\mathbb{N}}}{{\mathcal{N}}}_{n}\end{eqnarray}

Netz auf Ω bzgl. \({\mathcal{A}}\).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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