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Lexikon der Mathematik: Neumannsche Reihe

die Reihe

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{T}^{n}\end{eqnarray}

für einen linearen Operator T : XX auf einem Banachraum.

Gilt Norm ∥T∥ < 1 oder auch Spektralradius r(T) < 1, so existiert (konvergiert) die Reihe. Es ist dann

\begin{eqnarray}\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{T}^{n}={(\text{Id}-T)}^{-1}.\end{eqnarray}

In der Numerischen Mathematik wendet man die Neumannsche Reihe häufig auf Matrizen an, um damit Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme zu konstruieren.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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