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Lexikon der Mathematik: Newton-Cotes-Quadratur

Integrationsformel, welche durch polynomiale Interpolation an äquidistanten Punkten festgelegt ist.

In der Newton-Cotes-Quadratur wird das bestimmte Integral \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt\end{eqnarray} näherungsweise durch die Formel \begin{eqnarray}{Q}_{n}(f)=h\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\omega }_{i}f(a+ih)\end{eqnarray} berechnet. Hierbei ist n ∈ ℕ, und man setzt \begin{eqnarray}h=\displaystyle\frac{(b-a)}{n}.\end{eqnarray} Die Gewichte \begin{eqnarray}{\omega }_{i}=\displaystyle \underset{0}{\overset{n}{\int }}\displaystyle \prod _{\mathop{k=0}\limits_{k\ne i}}^{n}\displaystyle\frac{t-k}{i-k}dt\end{eqnarray} sind unabhängig von f und den Intervallgrenzen a, b. Diese erhält man somit durch Integration der Lagrange-Polynome, welche bei der Lagrange-Interpolation auftreten.

Beispielsweise ergibt sich durch die Verwendung quadratischer Polynome der Näherungswert \begin{eqnarray}{Q}_{2}(f)=\displaystyle\frac{h}{3}(f(a)+4f\left(\displaystyle\frac{a+b}{2}\right)+f(b)).\end{eqnarray}Diese Formel wird Simpson-Regel genannt. Verwendet man kubische Polynome, so gelangt man zur Näherungsformel \begin{eqnarray}{Q}_{3}(f)=\displaystyle\frac{3h}{8}(f(a)+3f\left(a+\displaystyle\frac{h}{3}\right)+3f\left(a+\displaystyle\frac{2h}{3}\right)+f(b)).\end{eqnarray}Diese Formel wird Newtonsche \(\displaystyle\frac{3}{8}\)-Regel genannt. Newton-Cotes-Quadraturformeln, welche auf polynomialer Interpolation höheren Grades beruhen, werden Milne-Regel (n = 4) bzw. Weddle-Regel (n = 6) genannt. Für n ≥ 8 treten negative Gewichte in den Newton-Cotes-Quadraturformeln auf. Durch wiederholte Newton-Cotes-Quadratur erhält man Formeln, die in der numerischen Integration verwendet werden.

Ist f eine q-mal differenzierbare Funktion, so gilt für den Fehler der Newton-Cotes-Quadratur \begin{eqnarray}\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(t)dt-{Q}_{n}(f)={h}^{q+1}{K}_{n}{f}^{(q)}(\xi ).\end{eqnarray}Hierbei ist Kn eine Konstante und \(\xi \in (a,b)\). Ist f beispielsweise eine 4-mal differenzierbare Funktionen, so gelten \({K}_{2}=\displaystyle\frac{1}{90}\) und \({K}_{3}=\displaystyle\frac{3}{80}\).

[1] Stoer J.: Einführung in die Numerische Mathematik I. Springer-Verlag Heidelberg/Berlin, 1972.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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