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Lexikon der Mathematik: Newtonsche Interpolationsformel

Formel, die bei der Durchführung der polynomialen Lagrange-Interpolation bzw. Hermite-Interpolation nützlich ist.

Es seien x0 < …< xN Punkte aus einem Intervall [a, b] und ci, i = 0,…,N, reelle Werte. Weiter sei \begin{eqnarray}p(x)=\displaystyle \sum _{j=0}^{N}{a}_{j}{x}^{j},x\in [a,b]\end{eqnarray} das zugehörige Interpolationspolynom vom Grad N, d. h. \begin{eqnarray}p({x}_{i})={c}_{i},\,i=0,\ldots, N.\end{eqnarray} Die Newtonsche Interpolationsformel des Lagrange-Polynoms p ist gegeben durch die Darstellung \begin{eqnarray}p(x)=\displaystyle \sum _{j=0}^{N}{b}_{j}\displaystyle \prod _{k=0}^{j-1}(x-{x}_{k}),\quad x\in [a,b].\end{eqnarray} Die Koeffizienten bj sind hierbei dividierte Differenzen Δ0,…,j, zu berechnen durch \begin{eqnarray}{\Delta }_{i}={c}_{i},i=0,\ldots, N,\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{\Delta }_{i,\ldots, i+j}=\displaystyle\frac{{\Delta }_{i,\ldots, i+j-1}-{\Delta }_{i+1,\ldots, i+j}}{{x}_{i}-{x}_{i+j}},\quad j\ge 1.\end{eqnarray}Besonders übersichtlich wird die Newtonsche Interpolationsformel, wenn die Punkte äquidistant gewählt sind, d.h. xi = a + ih, i = 0,…,N, wobei \(h=\frac{b-a}{N}\). In diesem Fall definiert man die j-te Vorwärtsdifferenz Δj, \begin{eqnarray}{\Delta^0 }c_{i}={c}_{i},i=0,\ldots, N,\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{\Delta }^{j}{c}_{i}={\Delta }^{j-1}{c}_{i+1}-{\Delta }^{j-1}{c}_{i},j\ge 1,\end{eqnarray} und erhält \begin{eqnarray}{b}_{j}={\Delta }_{0,\ldots, j}=\displaystyle\frac{{\Delta }^{j}{c}_{0}}{j!{h}^{j}},j=0,\ldots, N.\end{eqnarray}Darstellungen des Interpolationspolynoms p hinsichtlich äquidistanter Punkte nennt man Newton-Gregory-I-Interpolationsformel bzw. Newton-Gregory-II-Interpolationsformel.

Interpoliert man eine (N + 1)-fach differenzierbare Funktion f, so ergibt sich aus der Newtonschen Interpolationsformel die folgende Darstellung des Fehlers, \begin{eqnarray}(f-p)(x)=\displaystyle\frac{{f}^{(N+1)}({\xi }_{x})}{(N+1)!}(x-{x}_{0})\ldots (x-{x}_{N}),\end{eqnarray} wobei, für vorgegebenes x ∈ [a, b], ξx eine von x abhängige geeignete Zahl ist.

Eine analoge Newtonsche Interpolationsformel gilt für polynomiale Hermite-Interpolation. Hierbei geht man von x0 ≤…≤ xN aus.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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