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Lexikon der Mathematik: Nicht-Differenzierbarkeit

liegt bei einer Funktion \(f:D\to {\mathbb{R}}\) an einer inneren Stelle \(a\in D\subset {\mathbb{R}}\) vor, wenn der Differenzenquotient Qf (a, x) für \(D\, {\unicode{8717;}}\, x\to a\) in \({\mathbb{R}}\) nicht konvergiert.

Da die Differenzierbarkeit einer Funktion an einer Stelle ihre Stetigkeit an dieser Stelle nach sich zieht, ist Unstetigkeit der grundlegendste Fall von Nicht-Differenzierbarkeit.

Selbst bei stetigem und außer an der Stelle a differenzierbarem f ist es möglich, daß Qf (a, x) weder für x → a − noch für xa + konvergiert und auch nicht bestimmt divergiert. So ist etwa die Funktion \(f:{\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}\) mit \begin{eqnarray}f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}x\sin \frac{1}{x} &, & x\ne 0\\ 0 &, & x=0\end{array}\right.\end{eqnarray} stetig und gemäß der Kettenregel in \({\mathbb{R}}\backslash \{0\}\) differenzierbar mit \begin{eqnarray}{f}{^{\prime} }(x)=\sin \displaystyle\frac{1}{x}-\displaystyle\frac{1}{x}\cos \displaystyle\frac{1}{x}.\end{eqnarray} Da \begin{eqnarray}{Q}_{f}(0,x)=\displaystyle\frac{f(x)-f(0)}{x}=\sin \displaystyle\frac{1}{x}\end{eqnarray} für x → 0 nicht konvergiert, ist f nicht differenzierbar an der Stelle 0 (Abbildung 1).

Weiter kann es sein, daß Qf (a, x) für xa − oder xa + zwar nicht konvergiert, aber bestimmt gegen −∞ oder ∞ divergiert. Dann spricht man auch von uneigentlicher Differenzierbarkeit. Selbst wenn beide Grenzwerte \begin{eqnarray}\begin{array}{ccccc}{f}{^{\prime}_{-}}(a) & = & {Q}_{f}(a,a-) & = & \mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\uparrow a}{Q}_{f}(a,x)\\ {f}{^{\prime}_{+}}(a) & = & {Q}_{f}(a,a+) & = & \mathop{\mathrm{lim}}\limits_{x\downarrow a}{Q}_{f}(a,x)\end{array}\end{eqnarray} in \({\mathbb{R}}\) existieren, können sie noch verschieden voneinander sein, d. h. f ist nur linksseitig- und rechts seitig differenzierbar an der Stelle a. Ist dabei f außer an der Stelle a differenzierbar, so hat f an der Stelle a einen ‚Knick‘. Das einfachste Beispiel hierfür ist die Betragsfunktion \(||:{\mathbb{R}}\to [0,\infty )\), die außer an der Stelle 0 differenzierbar ist mit der Ableitung –1 in (−∞, 0) und der Ableitung 1 in (0, ∞). Es gilt \({|0|}{^{\prime}_-}=-1\) und \({|0|}{^{\prime}_{+} }=-1\) (Abbildung 2).

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Nicht-Differenzierbarkeit
© Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017
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Nicht-Differenzierbarkeit: Abbildung 1

Abbildung 2 zum Lexikonartikel Nicht-Differenzierbarkeit
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Nicht-Differenzierbarkeit: Abbildung 2

Angemerkt sei hier noch, daß sogar bei einer in einer ganzen Umgebung einer Stelle a differenzierbaren Funktion f die Grenzwerte f′(0−) und f′(0+) nicht zu existieren brauchen, geschweige denn f′ stetig sein muß. Beispielsweise ist die Funktion \(f:{\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}\) mit \begin{eqnarray}f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}{x}^{2}\sin \frac{1}{x} &, & x\ne 0\\ 0 &, & x=0\end{array}\right.\end{eqnarray} differenzierbar mit \begin{eqnarray}f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{ccc}2{x}\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x} &, & x\ne 0\\ 0 &, & x=0\end{array}.\right.\end{eqnarray} Zwar ist f′ stetig in \({\mathbb{R}}\backslash \{0\}\) und in der Umgebung von 0 beschränkt, doch f′(0−) und f‘(0+) existieren nicht, weil f′ in jeder Umgebung von 0 zwischen —1 und 1 ‚pendelt‘ (Abbildung 3).

Abbildung 3 zum Lexikonartikel Nicht-Differenzierbarkeit
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Nicht-Differenzierbarkeit: Abbildung 3

Die Funktionen der obigen Beispiele waren differenzierbar mit Ausnahme einzelner Stellen. Umgekehrt gibt es Funktionen, die nur an isolierten einzelnen Stellen differenzierbar sind. Zum Beispiel ist die Funktion \(f:{\mathbb{R}}\to {\mathbb{R}}\) mit \begin{eqnarray}f(x)=\left\{\begin{array}{ccl}x &, & x\in {\mathbb{Q}}\\ x+{x}^{2} &, & x\in {\mathbb{R}}\backslash {\mathbb{Q}}\end{array}\right.\end{eqnarray} differenzierbar an der Stelle 0 mit \({f}{^{\prime} }(0)=1\), aber in \({\mathbb{R}}\backslash \{0\}\) nicht einmal stetig (Abbildung 4).

Abbildung 4 zum Lexikonartikel Nicht-Differenzierbarkeit
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Nicht-Differenzierbarkeit: Abbildung 4

Stellen der Nicht-Differenzierbarkeit müssen selbst bei stetigen Funktionen nicht ‚selten‘ oder isoliert sein, wie man insbesondere an nirgends differenzierbaren stetigen Funktionen sieht. Unter zusätzlichen Voraussetzungen, wie etwa im Ableitungssatz von Lebesgue, läßt sich über die Menge der Stellen, an denen eine Funktion nicht differenzierbar ist, genaueres aussagen.

Bei Funktionen \(f:D\to {{\mathbb{R}}}^{m}\) mit \(D\subset {{\mathbb{R}}}^{n}\) hat man sorgfältig zwischen partieller Differenzierbarkeit und (totaler) Differenzierbarkeit zu unterscheiden. Aus der partiellen Differenzierbarkeit einer Funktion an einer Stelle folgt dort nicht ihre Differenzierbarkeit. Beispielsweise ist die Funktion \(f:{{\mathbb{R}}}^{2}\to {\mathbb{R}}\) mit \begin{eqnarray}f(x,y)=\left\{\begin{array}{ccc}\displaystyle\frac{xy}{{x}^{2}+{y}^{2}} &, & (x,y)\ne (0,0)\\ 0 &, & (x,y)=(0,0)\end{array}\right.\end{eqnarray} differenzierbar in \({{\mathbb{R}}}^{2}\backslash \{(0,0)\}\)und partiell nach beiden Variablen differenzierbar an der Stelle (0, 0), aber dort nicht einmal stetig, geschweige denn differenzierbar (Abbildung 5).

Abbildung 5 zum Lexikonartikel Nicht-Differenzierbarkeit
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Nicht-Differenzierbarkeit: Abbildung 5

Auch die Funktion \(f:{{\mathbb{R}}}^{2}\to {\mathbb{R}}\) mit \begin{eqnarray}f(x,y)=\left\{\begin{array}{ccc}\displaystyle\frac{xy^2}{{x}^{2}+{y}^{4}} &, & (x,y)\ne (0,0)\\ 0 &, & (x,y)=(0,0)\end{array}\right.\end{eqnarray} ist in \({{\mathbb{R}}}^{2}\backslash \{(0,0)\}\) differenzierbar und besitzt sogar alle Richtungsableitungen an der Stelle (0, 0), ohne dort stetig zu sein (Abbildung 6).

Abbildung 6 zum Lexikonartikel Nicht-Differenzierbarkeit
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Nicht-Differenzierbarkeit: Abbildung 6

Besonders gut wird dieses Phänomen deutlich anhand der Funktion \(f:{{\mathbb{R}}}^{2}\to {\mathbb{R}}\) mit f (x, y) = 1 für yx2 ≠ 0 und f(x, y) = 0 sonst, die ebenfalls an der Stelle (0, 0) unstetig ist, obwohl sie dort alle Richtungsableitungen besitzt.

Selbst wenn man zusätzlich zur Existenz aller Richtungsableitungen an einer Stelle dort noch Stetigkeit hat, kann man nicht auf Differenzierbarkeit schließen, wie die Funktion \(f:{{\mathbb{R}}}^{2}\to {\mathbb{R}}\) mit \begin{eqnarray}f(x,y)=\left\{\begin{array}{ccc}\displaystyle\frac{xy^3}{{x}^{2}+{y}^{4}} &, & (x,y)\ne (0,0)\\ 0 &, & (x,y)=(0,0)\end{array}\right.\end{eqnarray} zeigt. Diese ist stetig an der Stelle (0, 0) und besitzt dort alle Richtungsableitungen (mit\(\frac{\partial }{\partial v}f(0,0)=0\) für alle Richtungsvektoren v), sie ist aber an der Stelle (0, 0) nicht differenzierbar.

Dies wird wiederum an der Funktion \(f:{{\mathbb{R}}}^{2}\to {\mathbb{R}}\) mit f (x, y) = x für y = x2 und f (x, y) = 0 sonst noch deutlicher, die ebenfalls an der Stelle (0, 0) stetig ist und verschwindende Richtungsableitungen in alle Richtungen besitzt, aber dort nicht differenzierbar ist.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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